[论文解读] Semiclassical hydrodynamics of a quantum Kane model for semiconductors

Luigi Barletti, G. Borgioli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过使用 $k\cdot p$ 哈密顿量和 Wigner-BGK 形式化，推导出具有两个能带的半导体中电子的半经典流体模型。通过应用最大熵原理来封闭矩方程，唯一地以密度和速度场参数化局部平衡态，从而实现一致的流体描述，通过类似 BGK 的弛豫项捕捉非抛物能带动力学和带间跃迁。

ABSTRACT

In this paper we derive a semiclassical hydrodynamic system for electron densities and currents in the two energy bands of a semiconductor. We use the semiclassical Wigner equation with a k.p Hamiltonian and a BGK dissipative term to construct the first two moment equations. The closure of the moment system is obtained using the Maximum Entropy Principle, by minimizing a Gibbs free-energy functional under suitable constraints. We prove that the constraint equations can be uniquely solved, i.e. that the local equilibrium state can be parametrized by the density and velocity field. Some BGK-like models are proposed to mimic the quantum interband migration.

研究动机与目标

• 开发一种用于双带半导体中电子输运的流体模型，以在物理严谨性与数值可处理性之间取得平衡。
• 在保持与量子力学一致的前提下，将非抛物能带效应和带间跃迁纳入流体框架。
• 利用最大熵原理封闭矩系统，确保热力学一致的流体变量。
• 提出物理解释合理的类似 BGK 的碰撞项，以模拟带间散射和弛豫过程。
• 证明在 MEP 封闭中拉格朗日乘子的唯一可解性，其以宏观密度和速度为变量。

提出的方法

• 将 $k\cdot p$ 哈密顿量表述为 $2\times2$ 矩阵算符，利用赝自旋态形式化描述价带和导带。
• 使用矩阵值的 Wigner 函数来表示相空间中的电子态，并将其分解为标量部分和赝自旋部分。
• 从 Wigner-BGK 方程推导出能带密度 $n_{\pm}$ 和电流 $n_{\pm}\mathbf{u}_{\pm}$ 的零阶与一阶矩方程。
• 通过在矩约束下最小化吉布斯自由能泛函，应用最大熵原理来封闭矩系统。
• 引入三个类似 BGK 的碰撞项，以模拟能带弛豫、各向同性带间散射和极化弛豫。
• 证明拉格朗日乘子 $A_{\pm}$ 和 $\mathbf{B}_{\pm}$ 是宏观密度和速度的全局可逆函数，从而确保唯一封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为双带半导体推导出一个保持 $k\cdot p$ 模型中非抛物能带效应的一致流体模型？
• RQ2 最大熵原理如何应用于双带系统中矩阵值 Wigner 函数的矩系统封闭？
• RQ3 该流体模型中压强张量和有效质量张量的数学结构是什么？它们与宏观变量有何关联？
• RQ4 在不采用完整量子输运处理的前提下，如何在半经典流体框架中建模带间跃迁？
• RQ5 在此双带系统中，局部平衡态是否由密度和速度场唯一确定？

主要发现

• 最大熵封闭中的拉格朗日乘子 $A_{\pm}$ 和 $\mathbf{B}_{\pm}$ 是宏观密度 $n_{\pm}$ 和速度场 $\mathbf{u}_{\pm}$ 的全局可逆函数，确保了局部平衡态的唯一且光滑的参数化。
• 压强张量 $\mathbb{T}_{\pm}$ 表示为能量和速度分布的矩生成函数的赫essian 矩阵，该函数由 MEP 推导得出。
• 有效质量张量 $\mathbb{Q}_{\pm}$ 由带质量张量的逆的积分表达，权重为能量和动量项的指数形式。
• 提出了三种不同的类似 BGK 的碰撞项：一种用于能带弛豫，一种用于各向同性带间散射，一种用于极化弛豫，每种均保持总密度和动量守恒。
• 能带弛豫项 $C^{\mathit{br}}$ 使上带耗尽并以特征时间 $\tau_{\mathit{br}}$ 将电子填充至下带，而各向同性散射项 $C^{\mathit{is}}$ 实现动量的各向同性重分布，并使密度和电流极化实现弛豫。
• 所得的流体系统（53）具有 Euler-Poisson 类似结构，其源项 $N_{\pm}$ 和 $\mathbf{U}_{\pm}$ 依赖于能带密度和速度，且通过泊松方程包含自洽静电势。