[论文解读] Semiclassical Spectral Invariants for Schrödinger Operators

Victor Guillemin, Zuoqin Wang|ArXiv.org|May 6, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文推导了 $ℝ^n$ 上薛定谔算子的半经典谱测度的渐近展开式，表明展开式中的前几项——特别是主项和次主项——在一维和二维情形下可确定势能 $V$ 和磁场均 $B$。特别地，在 $ℝ^2$ 中，对于径向对称的 $V$ 和 $B$，两者均可在 $O(\hbar^\infty)$ 意义下被谱确定；在一维情形下，谱测度与算子的 Birkhoff 标准型之间存在直接的谱恒等式。

ABSTRACT

In this article we study the semiclassical spectral measures associated with Schrödinger operators on $R^n$. In particular we compute the first few coefficients of the asymptotic expansions of these measures and, as an application, give an alternative proof of Colin de Verdiere's result on recovering one dimensional potential wells from semiclassical spectral data. We also study the relation of semiclassical spectra measures to Birkhoff normal forms and describe a generalization of the asymptotic expansion above to the Schrödinger operator in the presence of a magnetic field.

研究动机与目标

• 推导 $ℝ^n$ 上薛定谔算子的半经典谱测度的渐近展开式。
• 通过分析谱测度展开式中的前几项，建立一维和二维情形下的反谱结果。
• 证明在 $ℝ^2$ 中，对于径向对称的势能和磁场，$V$ 和 $B$ 均可被谱确定。
• 在一维情形下证明量子 Birkhoff 标准型定理，将谱测度与算子的 Birkhoff 正则型直接关联。
• 将谱不变量推广至含磁场的薛定谔算子，推导谱测度的修正渐近公式。

提出的方法

• 推导谱测度 $\mu_\hbar$ 在 $\hbar \to 0$ 时的渐近展开式，形式为 $\mu_\hbar \sim \sum \hbar^{2k} \left(\frac{d}{dt}\right)^{2k} \mu_k$。
• 利用椭圆算子的一般半经典谱定理，获得初始展开式形式为 $\left(\frac{d}{dt}\right)^{4k}$，随后通过分部积分将其简化为 $\left(\frac{d}{dt}\right)^{2k}$ 形式。
• 计算展开式前两项的显式公式：$\nu_0(f) = \int f(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \, dx \, d\xi$ 和 $\nu_1(f) = -\frac{1}{24} \int f^{(2)}(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \sum_i \frac{\partial^2 V}{\partial x_i^2} \, dx \, d\xi$。
• 将方法推广至包含磁场的情形，推导涉及 $\|B\|^2$ 和 $\sum \partial^2 V / \partial x_k^2$ 的修正次主项。
• 建立量子 Birkhoff 标准型：在一维情形下，$S_\hbar$ 与 $H_{QB}(S_\hbar^{\text{har}}, \hbar^2) + O(\hbar^\infty)$ 单位等价，其中 $S_\hbar^{\text{har}}$ 为谐振子。
• 证明谱测度 $\mu_\hbar(f)$ 由 $\int_0^a f(t) \frac{dK}{dt}(t, \hbar^2) \, dt$ 给出，其中 $K(t, \hbar^2)$ 为 Birkhoff 正则型的逆，从而建立谱-几何对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℝ^2$ 中，能否从薛定谔算子的渐近谱测度重构势能 $V$ 和磁场均 $B$？
• RQ2 在何种程度上，谱测度能确定一维情形下的势能，尤其是在对称性假设下？
• RQ3 是否存在一个直接的谱恒等式，将谱测度与一维薛定谔算子的 Birkhoff 标准型关联？
• RQ4 与无磁场情形相比，磁场如何改变渐近谱不变量？
• RQ5 是否存在非单位等价但谱同构的势能？若存在，何种条件可防止谱确定？

主要发现

• 在 $ℝ^2$ 中，对于径向对称的 $V$ 和 $B$，两者均可被谱确定：$V$ 和 $B$ 可从谱测度展开式的 $O(\hbar^2)$ 和 $O(\hbar^4)$ 项中重构。
• 在一维情形下，谱测度确定了算子的 Birkhoff 标准型，反之亦然，通过关系式 $H_{QB}(s, \hbar^2) = t \Longleftrightarrow s = K(t, \hbar^2)$ 建立。
• $O(\hbar^6)$ 项在谱测度展开中给出一个谱确定的积分：$\int_{\frac{\xi^2}{2} + V(x) \leq \lambda} \left( \frac{\xi^8}{490}(V^{\prime\prime\prime}(x))^2 - \frac{\xi^6}{63}(V^{\prime\prime}(x))^3 - \frac{\xi^4}{12}(V^\prime(x)V^{\prime\prime}(x))^2 - \frac{11}{144}(V^\prime(x))^6 \right) \, dx \, d\xi$。
• $O(\hbar^4)$ 项给出一个谱确定的积分：$\int \left( \frac{1}{480}(V^{\prime\prime}(x))^2 f^{(4)} + \frac{7}{3456}(V^\prime(x))^4 f^{(6)} \right) \, dx \, d\xi$，其可简化为 $\frac{1}{1152} \int \left(7V^\prime V^{\prime\prime\prime} + \frac{47}{5}(V^{\prime\prime})^2 \right) f^{(4)} \, dx \, d\xi$。
• 在缺乏对称性假设时，存在不可数多个不同的单阱势能，它们在 $O(\hbar^\infty)$ 意义下谱同构，表明在无此类条件时谱确定性不成立。
• 对于含磁场的薛定谔算子，次主项被修正为 $\frac{1}{48} \int f^{(2)}(\frac{1}{2}\sum (\xi_i + a_i)^2 + V(x)) \left( -2\sum \frac{\partial^2 V}{\partial x_k^2} + \|B\|^2 \right) \, dx \, d\xi$，从而在径向对称下可实现对 $V$ 和 $\|B\|$ 的谱确定。