[论文解读] Semidefinite Approximations of Reachable Sets for Discrete-time Polynomial Systems

Victor Magron, Pierre-Loïc Garoche+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 14被引用 31

一句话总结

本文提出了一种凸半定规划的分层方法，用于计算离散时间多项式系统在半代数约束下的可达集的认证外逼近。通过将可达集表述为无穷维矩问题的解，该方法生成收敛的多项式上水平集，其在 $L_1$ 范数下随着多项式次数增加而逼近真实可达集，具有强收敛保证。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating the reachable set of a discrete-time polynomial system from a semialgebraic set of initial conditions under general semialgebraic set constraints. Assuming inclusion in a given simple set like a box or an ellipsoid, we provide a method to compute certified outer approximations of the reachable set. The proposed method consists of building a hierarchy of relaxations for an infinite-dimensional moment problem. Under certain assumptions, the optimal value of this problem is the volume of the reachable set and the optimum solution is the restriction of the Lebesgue measure on this set. Then, one can outer approximate the reachable set as closely as desired with a hierarchy of super level sets of increasing degree polynomials. For each fixed degree, finding the coefficients of the polynomial boils down to computing the optimal solution of a convex semidefinite program. When the degree of the polynomial approximation tends to infinity, we provide strong convergence guarantees of the super level sets to the reachable set. We also present some application examples together with numerical results.

研究动机与目标

• 解决在半代数初始条件与状态约束下，对离散时间多项式系统可达集进行近似的问题。
• 提供一种可生成可达集认证外逼近的方法，并具备收敛保证。
• 克服先前线性松弛法与李雅普诺夫方法的局限性，这些方法通常无法保证紧致性或收敛性。
• 构建一个凸半定规划的分层方法，通过逐步提高多项式次数系统性地提升近似精度。

提出的方法

• 将可达集表述为基于测度的无穷维线性规划问题的解，利用局部测度与矩松弛法。
• 基于平方和（SOS）表示与矩矩阵约束，构建一个原-对偶半定规划（SDP）的分层结构。
• 使用次数递增的多项式上水平集来外逼近可达集，其中系数通过SDP优化计算得出。
• 在质量有界假设下，确保近似结果在 $L_1$ 范数下收敛于可达集的指示函数。
• 利用Lasserre分层框架，将无穷维问题转化为一系列有限维凸松弛问题。
• 将该方法应用于有界与无界轨迹的近似计算，包括朱利亚集与浮游植物生长模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否利用凸优化方法，计算具有半代数约束的离散时间多项式系统可达集的认证外逼近？
• RQ2 随着多项式次数的增加，近似结果如何收敛于真实可达集？
• RQ3 矩问题表述与可达集上的勒贝格测度限制之间存在何种关系？
• RQ4 该方法能否应用于具有非凸或不连通可达集的系统，例如曼德布罗特集与朱利亚集中的系统？
• RQ5 该框架如何扩展以提供内逼近，或如何适应连续时间系统？

主要发现

• 无穷维矩问题的最优值对应于可达集的体积，最优解即为该集合上限制的勒贝格测度。
• 外逼近通过次数递增的多项式上水平集构造，其系数通过凸半定规划计算得出。
• 随着次数趋于无穷，多项式逼近分层在 $L_1$ 范数下强收敛于可达集的指示函数。
• 数值结果表明，对于二次朱利亚映射，近似结果能根据参数在曼德布罗特集中的位置，正确区分连通与不连通的动力学行为。
• 对于浮游植物生长模型，近似结果揭示了收敛至平衡点的趋势，并且随着次数增加精度不断提升。
• 该方法提供收敛保证与认证边界，在紧致性与理论一致性方面优于先前基于线性规划与李雅普诺夫的方法。