[论文解读] Semidefinite relaxation of multi-marginal optimal transport for strictly correlated electrons in second quantization

Yuehaw Khoo, Lin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Advanced Chemical Physics Studies参考文献 36被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种半定规划（SDP）松弛方法，用于求解在第二 quantization 语言下，量子多体系统在严格关联电子（SCE）极限中出现的多致 marginal 最优传输（MMOT）问题。通过在 2- 和 3-marginals 上施加约束，该方法实现了多项式时间计算，仅需一个 $2L \times 2L$ 的半定约束，从而得到与未松弛的 MMOT 结果一致的紧致下界，并证明了对偶可达性，使得在 Kohn-Sham DFT 中实现自洽场迭代成为可能。

ABSTRACT

We consider the strictly correlated electron (SCE) limit of the fermionic quantum many-body problem in the second-quantized formalism. This limit gives rise to a multi-marginal optimal transport (MMOT) problem. Here the marginal state space for our MMOT problem is the binary set $\{0,1\}$, and the number of marginals is the number $L$ of sites in the model. The costs of storing and computing the exact solution of the MMOT problem both scale exponentially with respect to $L$. We propose an efficient convex relaxation which can be solved by semidefinite programming (SDP). In particular, the semidefinite constraint is only of size $2L imes 2L$. Moreover, the SDP-based method yields an approximation of the dual potential needed to the perform self-consistent field iteration in the so-called Kohn-Sham SCE framework, which, once converged, yields a lower bound for the total energy of the system. We demonstrate the effectiveness of our methods on spinless and spinful Hubbard-type models. Numerical results indicate that our relaxation methods yield tight lower bounds for the optimal cost, in the sense that the error due to the semidefinite relaxation is much smaller than the intrinsic modeling error of the Kohn-Sham SCE method. We also describe how our relaxation methods generalize to arbitrary MMOT problems with pairwise cost functions.

研究动机与目标

• 解决费米子系统在严格关联电子（SCE）极限下精确多致 marginal 最优传输（MMOT）的指数级缩放问题。
• 开发 MMOT 问题的凸松弛方法，以实现 SCE 泛函及其梯度的高效计算。
• 即使在不满足 Slater 条件的情况下，也确保半定松弛的对偶可达性，从而在 Kohn-Sham DFT 中实现自洽场迭代。
• 在无自旋和有自旋的 Hubbard 型模型上，展示该方法的精度与可扩展性。

提出的方法

• 将 SCE 泛函表述为具有二值状态空间 $\{0,1\}$ 和成对代价 $C_{pq}(s_p,s_q) = v_{pq}$ 的多致 marginal 最优传输（MMOT）问题，当 $s_p = s_q = 1$ 时成立。
• 通过在 2-marginals 上施加必要约束，提出一种凸松弛方法，得到一个具有 $2L \times 2L$ 约束矩阵的半定规划（SDP）。
• 引入使用 3-marginal 约束的更紧致松弛，以改进最优代价的下界。
• 尽管原始问题不存在严格可行的解点，仍严格证明了 SDP 的对偶可达性，从而确保自洽场（SCF）迭代中有效势的存在性。
• 求解 SDP 的对偶问题，获得 Kantorovich 对偶势，这些势能可提供 Kohn-Sham DFT 中 SCF 循环所需的 SCE 势。
• 将松弛框架推广至具有成对代价函数的任意 MMOT 问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 SCE 极限下对 MMOT 问题构建一种凸松弛方法，以避免随格点数 $L$ 增加而产生的指数级缩放？
• RQ2 具有 $2L \times 2L$ 约束矩阵的半定松弛是否能为 Hubbard 型模型提供紧致的 SCE 能量下界？
• RQ3 当 Slater 条件不成立时，能否在 SDP 松弛中建立对偶可达性？
• RQ4 与 Kohn-Sham SCE 形式化中的建模误差相比，SDP 松弛对精确 MMOT 解的近似精度如何？
• RQ5 SDP 的对偶解是否可用于构建 Kohn-Sham DFT 中自洽场迭代的有效势？

主要发现

• 所提出的具有 $2L \times 2L$ 半定约束的 SDP 松弛方法，实现了 SCE 泛函的多项式时间计算，克服了精确 MMOT 的指数级缩放问题。
• 数值结果表明，2-marginal 和 3-marginal SDP 松弛方法所得的下界与未松弛 MMOT 解的结果相当，尤其是在考虑 SCE 框架中建模误差时更为显著。
• 尽管原始问题不存在严格可行的解点，仍严格证明了 SDP 的对偶可达性，从而确保了自洽场迭代中有效势的存在性。
• SDP 的对偶解提供了构建 Kohn-Sham 形式中 SCE 势所必需的 Kantorovich 势，从而实现了自洽场循环。
• 该松弛框架可推广至具有成对代价函数的任意 MMOT 问题，显著扩展了其在 SCE 设置之外的应用范围。
• 该方法成功实现了对无自旋和有自旋 Hubbard 型模型的基态能量的高精度、高效率计算。