[论文解读] Semifields, relative difference sets, and bent functions

Alexander Pott, Kai‐Uwe Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文建立了有限域上交换半域、相对差集与平面函数之间的全面等价关系，特别指出在偶特征下，平面映射的分量函数对应于负bent函数与Z₄-值bent函数。该研究通过差集及其投影的特征理论分析，统一了有限几何与密码学中的代数结构。

ABSTRACT

Recently, the interest in semifields has increased due to the discovery of several new families and progress in the classification problem. Commutative semifields play an important role since they are equivalent to certain planar functions (in the case of odd characteristic) and to modified planar functions in even characteristic. Similarly, commutative semifields are equivalent to relative difference sets. The goal of this survey is to describe the connection between these concepts. Moreover, we shall discuss power mappings that are planar and consider component functions of planar mappings, which may be also viewed as projections of relative difference sets. It turns out that the component functions in the even characteristic case are related to negabent functions as well as to $\mathbb{Z}_4$-valued bent functions.

研究动机与目标

• 阐明有限域中交换半域、相对差集与平面函数之间的深层等价关系。
• 研究相对差集的投影如何产生在奇特征与偶特征下对应于bent函数的分量函数。
• 探索偶特征下Z₄-值bent函数与负bent函数之间的联系。
• 通过应用代数数论与差集理论的工具，激发半域研究的新方向。
• 识别与非-Dembowski-Ostrom平面函数相关以及通过差集对射影平面子结构进行几何解释的开放问题。

提出的方法

• 利用Knuth轨道将交换半域与辛半域及平面函数联系起来。
• 应用特征理论条件，确定在G = Z₄ⁿ或初等阿贝尔p-群形式的群中，子集何时构成相对差集。
• 定义平面函数f: F_q → F_q，并证明其图R = {(x, f(x))}在G = F_q × F_q中关于N = {(0,y)}构成相对差集，前提是满足特定特征条件。
• 使用标准双线性型及特征χ_a(z) = (-1)^⟨a,x⟩与γ(z) = i^{w(x)}(-1)^y，推导出负bent函数的条件：|∑_x (-1)^{⟨x,a⟩+f(x)} i^{w(x)}|^2 = 2^m。
• 应用定理7.3，从Z₂^m中的bent函数构造Z₄ × G中的相对差集，从而在G = Z₂^m时于F₂^{m+1}上生成负bent函数。
• 分析平面映射的分量函数作为相对差集的投影，表明其为奇特征下的p-元bent函数或偶特征下的负bent函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域中，交换半域、相对差集与平面函数之间的精确等价关系是什么？
• RQ2 在特征2下，非-Dembowski-Ostrom平面函数是否存在，它们与相对差集有何关系？
• RQ3 Z₄-值bent函数与负bent函数在Z₄ⁿ中如何与相对差集关联？
• RQ4 Desarguesian射影平面的子结构能否通过平面函数或Z₄^m中的相对差集自然描述？
• RQ5 对于包含相对(p^m, p^m, p^m, 1)差集的阿贝尔群，其秩界可作何改进？

主要发现

• 在奇特征下，平面映射的分量函数为p-元bent函数，作为相对差集的投影而产生。
• 在偶特征下，分量函数等价于负bent函数，如特征和条件|∑_x (-1)^{⟨x,a⟩+f(x)} i^{w(x)}|^2 = 2^m所示。
• Z₄-值bent函数等价于Z₄ × G中的相对差集，因此也等价于负bent函数。
• 定理7.3的构造方法可从G中的两个bent集在Z₄ × G中生成一个相对(2|G|, 2, 2|G|, |G|)差集，当G = Z₂^m时，可在F₂^{m+1}上生成负bent函数。
• 已知至少存在一个奇特征下非Dembowski-Ostrom类型的平面函数实例，但在特征2下尚未发现此类实例。
• 在奇特征下，相对差集的环境群为初等阿贝尔群，而在偶特征下则为Z₄ⁿ，反映出根本的结构差异。