[论文解读] Semifree Hamiltonian circle actions on 6-dimensional symplectic manifolds with non-isolated fixed point set

Yunhyung Cho, Taekgyu Hwang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文为6维辛流形上的哈密顿圆作用建立了一个判据：当且仅当约化空间满足 $ b_2^+ = 1 $ 时，该作用为哈密顿作用。对于具有固定曲面的半自由哈密顿作用，证明了正亏格固定曲面的数量 $ k $ 最多为四，且 $ k \neq 2 $，并为 $ k = 0, 1, 3, 4 $ 构造了显式例子，同时表明在这些条件下 $ k = 2 $ 是不可能的。

ABSTRACT

Let $(M, ω)$ be a 6-dimensional closed symplectic manifold with a symplectic $S^1$-action with $M^{S^1} eq \emptyset$ and $\dim M^{S^1} \leq 2$. Assume that $ω$ is integral with a generalized moment map $μ$. We first prove that the action is Hamiltonian if and only if $b_2^+(M_{ ed})=1$, where $M_{ ed}$ is any reduced space with respect to $μ$. It means that if the action is non-Hamiltonian, then $b_2^+(M_{ ed}) \geq 2$. Secondly, we focus on the case when the action is semifree and Hamiltonian. We prove that if $M^{S^1}$ consists of surfaces, then the number $k$ of fixed surfaces with positive genera is at most four. In particular, if the extremal fixed surfaces are spheres, then $k$ is at most one. Finally, we prove that $k eq 2$ and we construct some examples of 6-dimensional semifree Hamiltonian $S^1$-manifolds such that $M^{S^1}$ contains $k$ surfaces of positive genera for $k = 0$ and 4. Examples with $k=1$ and 3 were given in \cite{L2}.

研究动机与目标

• 确定在固定点集非孤立且维度至多为2时，6维闭辛流形上辛 $ S^1 $-作用何时为哈密顿作用。
• 分类6维空间中半自由哈密顿 $ S^1 $-作用下可能的固定曲面数量及其亏格。
• 为固定点集由 $ k $ 个正亏格曲面构成的情况，构造6维半自由哈密顿 $ S^1 $-流形的显式例子，其中 $ k = 0, 1, 3, 4 $，并证明 $ k = 2 $ 不可能。
• 通过广义矩映射分析约化空间的拓扑结构，以及辛形式和欧拉类在临界值附近的性质。

提出的方法

• 使用广义矩映射 $ \mu: M \to S^1 $ 定义辛约化 $ M_\xi = \mu^{-1}(\xi)/S^1 $，其为具有明确定义的 $ b_2^+ $ 的轨道流形。
• 应用 Lin (2010) 的结果，将哈密顿性质与约化空间的贝蒂数 $ b_2^+(M_\xi) $ 联系起来。
• 分析当 $ t $ 穿过矩映射的临界值时，约化辛形式 $ \omega_t $ 和欧拉类 $ e \in H^2(M_\text{red}) $ 的变化。
• 通过粘合临界部分与正则部分构造辛流形：使用指定欧拉类的主 $ S^1 $-丛构造最小、中间和最大部分。
• 利用射影曲面满足 $ b_2^+ = 1 $ 的事实，推导出 $ M_\text{red} \cong \Sigma_g \times S^2 $ 当且仅当作用为哈密顿作用。
• 通过在 $ \Sigma_g \times S^2 $ 上构造一族辛形式 $ \omega_t $，控制其上同调类与欧拉类在区间上的行为，实现显式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 当固定点集非孤立且维度至多为2时，6维闭辛流形上辛 $ S^1 $-作用在何种条件下为哈密顿作用？
• RQ2 在6维辛流形上半自由哈密顿 $ S^1 $-作用中，正亏格固定曲面的最大数量是多少？
• RQ3 6维半自由哈密顿 $ S^1 $-流形是否可能恰好具有两个正亏格固定曲面？
• RQ4 哪些拓扑不变量（如 $ b_2^+ $、欧拉类、$ \omega_t $ 的上同调类）刻画了此类作用下的约化空间？
• RQ5 如何构造具有指定固定点集和约化空间拓扑的此类流形的显式例子？

主要发现

• 当且仅当矩映射 $ \mu $ 的任意正则值 $ \xi $ 满足 $ b_2^+(M_\xi) = 1 $ 时，作用为哈密顿作用；若非哈密顿作用，则对所有 $ \xi $ 有 $ b_2^+(M_\xi) \geq 2 $。
• 对于具有曲面型固定点集的半自由哈密顿 $ S^1 $-作用，正亏格固定曲面的数量 $ k $ 最多为四。
• 正亏格固定曲面的数量 $ k $ 不可能等于二；$ k \neq 2 $ 是一种拓扑障碍。
• 为 $ k = 0, 1, 3, 4 $ 构造了例子，表明集合 $ \{0,1,3,4\} $ 中的所有值均可实现，而 $ k = 2 $ 不可能。
• 当 $ k = 4 $ 时，所有四个固定曲面必须具有相同的亏格 $ g $，且约化空间微分同胚于 $ \Sigma_g \times S^2 $。
• 当 $ k = 1 $ 时，端点处的固定曲面必须是球面，且此类例子存在；当 $ k = 0 $ 时，固定点集仅由球面构成或为空。