[论文解读] Semigroup identities of tropical matrices through matrix ranks

Zur Izhakian, Glenn Merlet|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文通过建立矩阵幂的热带秩与因子秩之间的重要关系，证明了对所有 $ n $，$ n \times n $ 热带矩阵的幺半群满足非平凡的半群恒等式。利用一种新颖的秩比较结果，并基于三角矩阵恒等式进行归纳，作者构造出长度为 $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $ 的恒等式，其中 $ C \leq 1/2 + \ln 2 $，从而解决了热带半群理论中长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

We prove the conjecture that, for any $n$, the monoid of all $n imes n$ tropical matrices satisfies nontrivial semigroup identities. To this end, we prove that the factor rank of a large enough power of a tropical matrix does not exceed the tropical rank of the original matrix.

研究动机与目标

• 解决一个长期存在的猜想：对所有 $ n \in \mathbb{N} $，$ n \times n $ 热带矩阵的幺半群 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ 满足非平凡的半群恒等式。
• 建立矩阵的热带秩与其高次幂的因子秩之间的联系，从而实现恒等式的归纳构造。
• 利用迭代下的秩不变性，将已知的三角矩阵恒等式推广至完整的矩阵幺半群 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $。
• 提供此类恒等式长度的定量界，表明其增长阶为 $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $，其中 $ C \leq 1/2 + \ln 2 $。

提出的方法

• 引入并证明定理 2.20：对任意 $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $，当 $ t \geq (n-1)^2 + 1 $ 时，有 $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^t) \leq \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A) $，从而建立因子秩与热带秩之间的联系。
• 利用命题 2.6 表明：若 $ \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A^{\overline{n}}) < n $，则对所有 $ t \geq 3n-2 $，有 $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^{t\overline{n}}) < n $，从而实现归纳约化。
• 利用先前工作中提出的弱 CSR 展开方法分析矩阵幂及其秩行为。
• 应用引理 3.1，通过矩阵分解与词替换，将恒等式从较小的矩阵幺半群传递到更大的幺半群。
• 通过上三角热带矩阵幺半群中已知的恒等式，递归构造恒等式，其中 $ \langle q,r\rangle \in \operatorname{Id}(\mathcal{U}_n) $。
• 通过结合 $ \overline{n} = \operatorname{lcm}(1,\dots,n) $ 的指数增长与上三角矩阵恒等式的指数长度，对最终恒等式的长度进行界定。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个 $ n \geq 1 $，$ n \times n $ 热带矩阵的幺半群 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ 是否满足非平凡的半群恒等式？
• RQ2 能否用原矩阵的热带秩来界定其幂的因子秩？
• RQ3 是否存在一种统一的方法，利用子幺半群（如 $ \mathcal{U}_n $）中的恒等式，来构造 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ 中的恒等式？
• RQ4 随着 $ n $ 增大，此类恒等式的长度的渐近增长速率如何？

主要发现

• 对每个 $ n \in \mathbb{N} $，幺半群 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ 满足一个非平凡的半群恒等式，从而证实了该猜想。
• 恒等式长度以 $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $ 的形式增长，其中 $ C \leq 1/2 + \ln 2 $，该结果源于最小公倍数 $ \overline{n} = \operatorname{lcm}(1,\dots,n) $ 与 $ \mathcal{U}_n $ 中指数长度恒等式的结合。
• 定理 2.20 表明：当 $ t \geq (n-1)^2 + 1 $ 时，有 $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^t) \leq \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A) $，为关键的秩控制机制提供了支持。
• 命题 2.6 表明：若 $ \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A^{\overline{n}}) < n $，则对所有 $ t \geq 3n - 2 $，有 $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^{t\overline{n}}) < n $，从而实现归纳约化。
• 推论 3.9 成立：任何被 $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ 忠实表示的半群均满足非平凡恒等式，原因在于该矩阵幺半群中存在此类恒等式。
• 对于 $ n=3 $，该方法构造出长度为 4,968 和 5,808 的恒等式，远短于此前已知的 1,795,308 长度的恒等式，体现出显著的效率提升。