[论文解读] Semigroupoid C*-Algebras

Ruy Exel|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了半群胚 C*-代数作为组合结构（如 0–1 矩阵和高阶图）相关 C*-代数的统一框架。它从半群胚 $\Lambda$ 构造了一个普遍 C*-代数 ${\cal O}(\Lambda)$，并证明对于马尔可夫半群胚和无源的行有限高阶图，${\cal O}(\Lambda)$ 分别同构于标准的陈-克里格和高阶图 C*-代数，表明高阶图中的维数函数在定义 C*-代数时是冗余的。

ABSTRACT

A semigroupoid is a set equipped with a partially defined associative operation. Given a semigroupoid Λwe construct a C*-algebra C*(Λ) from it. We then present two main examples of semigroupoids, namely the Markov semigroupoid associated to an infinite 0-1 matrix, and the semigroupoid associated to a row-finite higher-rank graph without sources. In both cases the semigroupoid C*-algebra is shown to be isomorphic to the algebras usually attached to the corresponding combinatorial object, namely the Cuntz-Krieger algebras and the higher-rank graph C*-algebras, respectively. In the case of a higher-rank graph (Λ,d), it follows that the dimension function d is superfluous for defining the corresponding C*-algebra.

研究动机与目标

• 通过基于半群胚的统一框架，推广从图和矩阵等组合对象构造 C*-代数的方法。
• 通过使用半群胚而非范畴，解决现有框架在非行有限图和无源情况下的局限性。
• 证明高阶图的 C*-代数与半群胚 C*-代数同构，表明维数函数在定义代数时并非必要。
• 为半群胚建立一个普遍 C*-代数构造，推广已知的陈-克里格和高阶图 C*-代数构造。

提出的方法

• 将半群胚定义为带有部分定义结合运算的集合，通过省略定义域和上定义域结构，推广范畴的概念。
• 通过受埃克尔关于逆半群 C*-代数工作的启发，基于紧表示条件，从半群胚 $\Lambda$ 构造一个普遍 C*-代数 ${\cal O}(\Lambda)$。
• 证明陈-克里格代数和高阶图 C*-代数的标准生成元满足对应半群胚的紧表示公理。
• 利用 ${\cal O}(\Lambda)$ 的普遍性质，为特定半群胚建立 ${\cal O}(\Lambda)$ 与已知 C*-代数之间的 *-同构。
• 证明生成元的初始和最终投影适当地可交换，确保表示是紧的。
• 通过利用普遍性质构造互逆的 *-同态，建立行有限高阶图无源情形下 $C^*(\Lambda)$ 与 ${\cal O}(\Lambda)$ 之间的 *-同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将与 0–1 矩阵（即陈-克里格代数）相关的 C*-代数恢复为半群胚 C*-代数？
• RQ2 能否在不依赖维数函数的前提下，从半群胚框架重构高阶图 C*-代数？
• RQ3 高阶图中的维数函数是否在定义 C*-代数时是冗余的？
• RQ4 半群胚方法是否解决了传统范畴基构造中非行有限图和源点问题带来的困扰？
• RQ5 半群胚的普遍 C*-代数构造能否推广组合数学中已知的 C*-代数构造？

主要发现

• 与无限 0–1 矩阵导出的马尔可夫半群胚相关的半群胚 C*-代数 ${\cal O}(\Lambda)$ 与相应的陈-克里格代数 *-同构。
• 对于无源的行有限高阶图 $\Lambda$，半群胚 C*-代数 ${\cal O}(\Lambda)$ 与标准高阶图 C*-代数 $C^*(\Lambda)$ *-同构，证明维数函数 $d$ 是多余的。
• 通过紧表示构造 ${\cal O}(\Lambda)$ 的方法自然处理了非行有限和含源的情形，避免了早期框架中出现的技术障碍。
• 该证明依赖于证明 $C^*(\Lambda)$ 的标准生成元构成半群胚 $\Lambda$ 的紧表示，从而可利用普遍性质构造逆 *-同态。
• $C^*(\Lambda)$ 中生成元的初始和最终投影适当地可交换，满足普遍构造所需的紧性条件。
• 证明了逆 *-同态 $\Phi: C^*(\Lambda) \to {\cal O}(\Lambda)$ 和 $\Psi: {\cal O}(\Lambda) \to C^*(\Lambda)$ 互为逆，从而确立了 *-同构。