[论文解读] Semigroupoid, Groupoid and Group Actions on limits for the Gromov-Hausdorff Propinquity

Frédéric Latrémolière|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 2

一句话总结

本文证明了在Gromov-Hausdorff拟等距度量下，群、群胚及归纳极限作用于拟-Leibniz紧致量子度量空间时，其性质得以保持，该度量用于近似量子度量空间。研究证明，若一列此类空间的柯西序列携带相容的群作用并收敛于极限群，则极限空间继承了该极限群的非平凡作用，从而可构造C*-代数上的新群作用，包括来自非局部紧致群的作用。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff propinquity provides an analytical framework motivated by mathematical physics where quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces may be studied by means of metric approximations. A natural question in this setting, answered in this paper, is whether group actions pass to the limit for this new geometry: if a sequence of quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces is Cauchy for the propinquity and each entry carries a non-trivial compact group action, and if the resulting sequence of groups converges, does the Gromov-Hausdorff limit carry a non-trivial action of the limit group? What about actions from groupoids, or inductive limits of groups? We establish a general result addressing all these matters. Our result provides a first example of a structure which passes to the limit of quantum metric spaces for the propinquity, as well as a new method to construct group actions, including from non-locally compact groups seen as inductive limits of compact groups, on unital C*-algebras. We apply our techniques to obtain some properties of closure of certain classes of quasi-Leibniz quantum compact metric spaces for the propinquity.

研究动机与目标

• 确定群作用于拟_Leibniz紧致量子度量空间时，在Gromov-Hausdorff拟等距度量下是否在极限中保持不变。
• 将该结果推广至群胚及紧致群的归纳极限。
• 提供一个通用框架，通过逼近量子度量空间上的作用，构造酉C*-代数上的群作用。
• 分析拟_Leibniz量子紧致度量空间类在拟等距度量下的闭包性质。

提出的方法

• 作者使用Gromov-Hausdorff拟等距度量作为拟_Leibniz紧致量子度量空间空间上的度量。
• 他们在该度量空间中的一列柯西序列的每个元素上定义了紧致群的相容作用。
• 他们证明，若该群序列在Hausdorff度量下收敛，则极限空间携带极限群的作用。
• 他们利用范畴论与拓扑工具，将该框架扩展至群胚及紧致群的归纳极限。
• 该构造依赖于拟等距度量对群作用的连续性，以及在极限下拟_Leibniz条件的稳定性。
• 他们应用该框架证明了某些类的量子度量空间在拟等距度量下是闭包的。

实验结果

研究问题

• RQ1 一列紧致群作用于拟_Leibniz量子紧致度量空间时，是否会在Gromov-Hausdorff极限上诱导出群作用？
• RQ2 该结果能否推广至群胚作用而非仅群作用？
• RQ3 紧致群的归纳极限作用于逼近空间时，是否会在极限空间上诱导出作用？
• RQ4 在拟等距度量拓扑下，拟_Leibniz条件是否在极限过程中保持不变？
• RQ5 该框架能否用于构造酉C*-代数上的新群作用，包括来自非局部紧致群的作用？

主要发现

• 当群序列收敛时，拟_Leibniz紧致量子度量空间上的群作用在Gromov-Hausdorff拟等距度量下得以保持。
• 若作用相容且序列为柯西序列，则极限空间继承了极限群的非平凡作用。
• 该框架可扩展至群胚作用，从而在Gromov-Hausdorff极限空间上实现极限作用。
• 该方法可利用紧致群的归纳极限，在酉C*-代数上构造群作用。
• 通过该极限作用框架，确立了某些类的拟_Leibniz量子紧致度量空间在拟等距度量下的闭包性。
• 本工作首次提供了在拟等距度量拓扑下，非平凡代数结构（即群作用）传递至极限的已知实例。