[论文解读] Semigroups for One-Dimensional Schrödinger Operators with Multiplicative Gaussian Noise

Pierre Yves Gaudreau Lamarre|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文通过将噪声解释为分布形式并运用概率方法，建立了在一维薛定谔算子带有乘法高斯噪声时费曼-卡茨半群的存在性及其迹类性质。在势能和噪声满足温和条件时，证明了该半群是良定义的、紧致的，并可通过广义费曼-卡茨公式在包括 $\mathbb{R}$、$(0,\infty)$ 和 $(0,b)$ 在内的各类域上进行概率表示。

ABSTRACT

Let $ H:=- frac12Δ+V$ be a one-dimensional continuum Schrödinger operator. Consider ${\hat H}:= H+ξ$, where $ξ$ is a translation invariant Gaussian noise. Under some assumptions on $ξ$, we prove that if $V$ is locally integrable, bounded below, and grows faster than $\log$ at infinity, then the semigroup $\mathrm e^{-t {\hat H}}$ is trace class and admits a probabilistic representation via a Feynman-Kac formula. Our result applies to operators acting on the whole line $\mathbb R$, the half line $(0,\infty)$, or a bounded interval $(0,b)$, with a variety of boundary conditions. Our method of proof consists of a comprehensive generalization of techniques recently developed in the random matrix theory literature to tackle this problem in the special case where ${\hat H}$ is the stochastic Airy operator.

研究动机与目标

• 建立带有乘法高斯噪声的薛定谔算子的严格概率框架，这些算子由于噪声的不规则性而无法逐点定义。
• 克服当 $\xi$ 为分布型高斯过程时定义算子 $\hat{H} = H + \xi$ 及其半群 $e^{-t\hat{H}}$ 的挑战。
• 将随机矩阵理论中的技术——特别是用于随机艾里算子的技术——推广到一类带有乘法噪声的一维薛定谔算子。
• 在势能和噪声满足温和条件时，证明半群 $e^{-t\hat{H}}$ 为迹类，并具有费曼-卡茨表示。
• 处理包括整个实直线、半直线和有界区间在内的各种域与边界条件，如罗宾型或狄利克雷型条件。

提出的方法

• 将乘法高斯噪声 $\xi$ 解释为连续高斯过程 $\Xi$ 的分布导数，通过分部积分方法实现对 $\xi(f)$ 的严格定义。
• 以形式 $\mathbb{E}^x[\exp(-\int_0^t V(B(s)) ds - \int_0^t \xi(B(s)) ds) f(B(t))]$ 使用费曼-卡茨公式，将积分 $\int \xi(B(s)) ds$ 解释为对 $\Xi$ 的随机积分。
• 通过在有界域上使用正则化边界条件（如参数为 $n$ 的罗宾条件）的逼近算子 $H_n$，实施极限过程以逼近完整算子 $H$。
• 建立半群 $K_n(t) \to K(t)$ 的算子范数收敛性，以及通过边界条件矩阵的矩阵表示与摄动理论实现特征值与特征函数的收敛。
• 通过证明边界条件矩阵 $B_n \to B$ 的收敛性，利用半群的迹类性质，建立紧致性与特征函数在 $L^2$ 中的收敛性。
• 在反射布朗运动路径上，使用局部时间项 $\mathfrak{L}^0_t(Y)$ 和 $\mathfrak{L}^b_t(Y)$ 的广义费曼-卡茨公式表示半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声不是函数而是分布时，费曼-卡茨公式能否在带有乘法高斯噪声的薛定谔算子上被严格推广？
• RQ2 在何种势能 $V$ 和噪声 $\xi$ 条件下，半群 $e^{-t\hat{H}}$ 为迹类？
• RQ3 当 $\xi$ 无法逐点求值时，如何定义算子 $\hat{H} = H + \xi$，其半群如何进行概率表示？
• RQ4 当通过带有正则化边界条件的有界区间逼近全定义域时，半群 $e^{-t\hat{H}}$ 是否在算子范数下收敛？
• RQ5 在适当的边界条件正则化下，逼近算子的特征值与特征函数是否收敛到全算子 $\hat{H}$ 的特征值与特征函数？

主要发现

• 当 $V$ 局部可积、下有界，且在无穷远处增长快于 $\log|x|$ 时，对所有 $t > 0$，半群 $e^{-t\hat{H}}$ 为迹类。
• 半群可通过涉及布朗运动局部时间与分布型噪声 $\xi$ 的费曼-卡茨公式进行概率表示。
• 当通过带有罗宾边界条件的有界区间逼近全定义域时，$K_n(t) \to K(t)$ 在算子范数下收敛，且边界条件矩阵满足 $C_n \to B$。
• 当 $n \to \infty$ 时，特征值 $\lambda_k(H_n) \to \lambda_k(H)$ 与特征函数 $\psi_k(H_n) \to \psi_k(H)$ 在 $L^2$ 范数下收敛，确保半群的生成元为 $\hat{H}$。
• 该方法将随机矩阵理论中的技术（特别是用于随机艾里算子的技术）推广到一类广泛的一维薛定谔算子，带有乘法噪声。
• 结果适用于整个实直线 $\mathbb{R}$、半直线 $(0,\infty)$ 以及有界区间 $(0,b)$，包括罗宾与混合边界条件在内的各种边界条件。