[论文解读] Semigroups of weighted composition operators in spaces of analytic functions

Irina Arévalo, Marcos I. Oliva|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究了加权复合算子半群 $T_t f = \varphi_t' (f \circ \varphi_t)$ 在解析函数空间（尤其是 Hardy、Bergman、混合范数和加权 Banach 空间）上的强连续性。结果表明，此类半群在可分空间（如 Hardy 和 Bergman 空间）上总是强连续的，但在非可分空间（如 $H_v^\infty$）中，强连续性仅在由 Denjoy-Wolff 点及关联积分算子行为所决定的真子空间上成立。

ABSTRACT

We study the strong continuity of weighted composition semigroups of the form $T_tf=φ_t'\left(f\circφ_t ight)$ in several spaces of analytic functions. First we give a general result on separable spaces and use it to prove that these semigroups are always strongly continuous in the Hardy and Bergman spaces. Then we focus on two non-separable family of spaces, the mixed norm and the weighted Banach spaces. We characterize the maximal subspace in which a semigroup of analytic functions induces a strongly continuous semigroup of weighted composition operators depending on its Denjoy-Wolff point, via the study of an integral-type operator.

研究动机与目标

• 刻画由解析半群诱导的加权复合算子半群在各种解析函数空间中强连续的条件。
• 确定非可分空间（如 $H_v^\infty$）中此类半群强连续的最大闭子空间。
• 分析 Denjoy-Wolff 点在决定强连续性最大子空间结构中的作用。
• 建立混合范数空间和加权 Banach 空间中关联积分型算子的有界性与紧性准则。
• 阐明在加权复合算子半群的强连续性背景下，可分空间与非可分空间之间的区别。

提出的方法

• 使用可分解析函数 Banach 空间中的强连续性一般准则，证明 Hardy 空间和 Bergman 空间中的强连续性。
• 为非可分空间 $X$ 定义最大子空间 $[\varphi_t', X] = \{ f \in X : \lim_{t \to 0^+} \| \varphi_t' (f \circ \varphi_t) - f \|_X = 0 \}$。
• 通过与半群生成元相关的积分型算子的有界性和紧性，刻画混合范数空间和加权 Banach 空间 $H_v^\infty$ 的 $[\varphi_t', X]$。
• 利用 Koenigs 函数和无穷小生成元 $G(z) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\varphi_t(z) - z}{t}$，将几何函数论与算子理论性质联系起来。
• 使用生成元表示中的 $G(z) = (\bar{b}z - 1)(z - b)P(z)$ 且 $\text{Re}\,P \geq 0$ 的形式，分析 Denjoy-Wolff 点 $b \in \overline{\mathbb{D}}$。
• 运用对偶性和弱紧性论证，特别是利用 $ (H_v^0)^{**} = H_v^\infty $，将乘法算子的紧性与弱紧性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由解析半群诱导的加权复合算子半群在 Hardy 空间和 Bergman 空间中是强连续的？
• RQ2 在非可分空间（如 $H_v^\infty$）中，给定半群诱导的加权复合算子半群强连续的最大子空间是什么？
• RQ3 半群的 Denjoy-Wolff 点如何影响强连续性最大子空间的结构？
• RQ4 在混合范数空间和加权 Banach 空间中，与半群相关的积分型算子的有界性和紧性的必要与充分条件是什么？
• RQ5 对于拟正规权，$H_v^\infty$ 上是否存在非平凡的强连续加权复合算子半群？

主要发现

• 由解析半群诱导的任意加权复合算子半群在 Hardy 空间 $H^p$ 和 Bergman 空间 $A^p$ 上都是强连续的。
• 在非可分加权 Banach 空间 $H_v^\infty$ 中，不存在非平凡半群诱导出强连续的加权复合算子半群，即 $[\varphi_t', H_v^\infty] \subsetneq H_v^\infty$。
• 对于具有拟正规权的 $H_v^\infty$，强连续性在整个空间 $H_v^0$ 上成立，当且仅当 $1/P \in H_0(\infty, \infty, 1)$，其中 $P$ 是生成元表示中的正实部函数。
• 当 Denjoy-Wolff 点 $b \in \mathbb{T}$ 时，最大子空间 $[\varphi_t', H_v^\infty]$ 严格包含 $H_v^0$，因此强连续性在 $H_v^0$ 上不成立。
• 乘法算子 $W_g$ 在 $H_v^\infty$ 上的有界性等价于 $g \in H(\infty, \infty, 1)$，紧性等价于 $g \in H_0(\infty, \infty, 1)$。
• 当 $b \in \mathbb{D}$ 时，$H_v^0 = [\varphi_t', H_v^\infty]$ 当且仅当 $1/P \in H_0(\infty, \infty, 1)$，这将子空间相等性与 $1/P$ 在边界附近的衰减性联系起来。