[论文解读] Semiinfinite cohomology of associative algebras and bar duality

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|Feb 5, 1996

Advanced Topics in Algebra被引用 16

一句话总结

本文为具有非正定分次子代数的分次结合代数的半无限上同调建立了一个条带对偶框架，推广了经典条带对偶理论。它构造了一个DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ 及其函子，实现了在导出范畴之间的等价关系，将半无限Ext识别为该对偶设定下的导出Hom，并证明对于分次李代数的普遍包络代数，该构造通过一个关键的2-上闭链恢复了李代数的半无限上同调，且给出了依赖于三角分解的上闭链的显式公式。

ABSTRACT

We describe semiinfinite cohomology of associative algebras in terms of Koszul (or bar) duality. Consider an associative algebra $A$ and two its subalgebras $B$ and $N$ such that $A=B\otimes N$ as a vector space. We prove that the endomorphism algebra of the semiregular $A$-module appears naturally in semiinfinite cohomology theory as a ``two times Koszul dual'' to the algebra $A$. We compare semiinfinite cohomology of universal enveloping algebras with the well-known Lie algebra semiinfinite cohomology. A new description of the critical 2-cocycle is provided. As a consequence we obtain another proof of the fact that additive categories generated by Verma modules over affine Lie algebras on dual levels are antiequivalent.

研究动机与目标

• 为具有非正定分次子代数的分次结合代数发展一种基于条带对偶的半无限上同调构造方法。
• 通过DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ 和导出函子，将经典条带对偶推广至半无限情形。
• 证明通过该对偶定义的半无限Ext函子与文献[Ar]中既有的定义一致。
• 证明对于分次李代数的普遍包络代数，该构造能恢复李代数的半无限上同调。
• 在不同三角分解下，显式计算仿射李代数的关键2-上闭链。

提出的方法

• 在有限性条件下，为分次结合代数 $ A $ 及其非正定分次子代数 $ B $ 定义一个自然的DG代数 $ D^\bullet(A,B) $。
• 构造导出函子 $ D^\flat_A $ 和 $ D^\natural_A $，它们在 $ A $-模的导出范畴与 $ D^\bullet(A,B)^{\text{op}} $-模的导出范畴之间建立等价关系。
• 通过对偶函子定义半无限Ext为 $ \operatorname{Ext}^{\frac{\infty}{2}+\bullet}_{A}(L,M) := \operatorname{Ext}^\bullet_{D^\bullet(A,B)}(D^\natural_{A^\sharp}(L), D^\flat_A(M)) $。
• 证明 $ A^\sharp = \operatorname{End}_A(S_A) $，其中 $ S_A = \operatorname{Hom}_B(A,B) $，且当 $ A = B \otimes N $ 时，$ A^\sharp $ 具有三角分解 $ B^{\text{op}} \otimes N^{\text{op}} $。
• 证明 $ D^\bullet(A,B)^{\text{op}} \cong D^\bullet(A^\sharp, B^{\text{op}}) $，从而在对偶代数之间建立对偶关系。
• 在不同三角分解下，显式计算仿射李代数的关键2-上闭链 $ \omega_0^{(1)} $ 和 $ \omega_0^{(2)} $，并证明 $ \omega_0^{(1)} = 2h^\vee \nu $ 且 $ \omega_0^{(2)} = 2h^\vee \nu + 2d\rho $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在分次设定下，通过条带对偶重构结合代数的半无限上同调？
• RQ2 $ A $-模的导出范畴与对偶DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ 的导出范畴之间存在何种关系？
• RQ3 所提出的半无限Ext函子是否与文献[Ar]中的现有定义一致？
• RQ4 该构造在普遍包络代数的分次李代数情形下如何特化？
• RQ5 在仿射李代数的情形下，关键2-上闭链的显式形式是什么？其如何依赖于三角分解的选择？

主要发现

• 导出函子 $ D^\flat_A $ 和 $ D^\natural_A $ 是三角范畴等价，将经典条带对偶推广至半无限情形。
• 半无限Ext同构于对偶范畴中的导出Hom，为半无限上同调提供了同调解释。
• 代数 $ A^\sharp = \operatorname{End}_A(S_A) $ 同构于半正则模 $ S_A $ 的自同态代数，且当 $ A = B \otimes N $ 时，$ A^\sharp $ 具有三角分解 $ B^{\text{op}} \otimes N^{\text{op}} $。
• 对于分次李代数的普遍包络代数，通过该对偶框架定义的半无限上同调与李代数的半无限上同调一致。
• 对于分解 $ \mathfrak{p} = \overline{\mathfrak{g}} $ 的情形，关键2-上闭链 $ \omega_0^{(1)} $ 为 $ 2h^\vee \nu $，其中 $ \nu $ 为归一化的不变形式。
• 对于Borel分解 $ \mathfrak{p} = \text{Borel} $，关键上闭链为 $ \omega_0^{(2)} = 2h^\vee \nu + 2d\rho $，其中 $ \rho $ 是满足 $ d\rho(e_{\alpha_i}, e_{-\alpha_i}) = 1 $ 的1-链。