[论文解读] Semilinear equations, the $γ_k$ function, and generalized Gauduchon metrics

Jixiang Fu, Zhizhang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过 $\gamma_k$ 函数引入广义 Gauduchon 度量，通过求解一个半线性 PDE，证明了在紧致复流形上存在 $k$-th Gauduchon 度量。证明表明，对于任意 Hermitian 度量，存在唯一的共形因子 $e^v$，使得 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$，其中 $\gamma_k$ 为一个常数障碍，将 Gauduchon 的经典结果推广至非 Kähler 设置。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the Gauduchon metrics on a compact complex manifold and define the $γ_k$ functions on the space of its hermitian metrics.

研究动机与目标

• 通过引入满足 $\partial\bar{\partial}(\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1}=0$ 的 $k$-th Gauduchon 度量，将 Gauduchon 度量推广至 $k=n-1$ 之外的情形。
• 通过求解涉及 $\gamma_k$ 函数的半线性 PDE，解决在给定 Hermitian 度量的共形类中此类度量的存在性问题。
• 将 $\gamma_k$ 函数定义并分析为一个共形不变量，用以度量 $k$-th Gauduchon 度量存在性的障碍。
• 证明对于任意紧致 Hermitian 流形，存在唯一的 $\gamma_k$ 和共形方程 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ 的解 $v$，从而推广 Gauduchon 的结果。
• 在特定非 Kähler 流形（包括 $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ 和 $S^5\times S^1$）上证明 1-Gauduchon 度量的存在性，并表明在 $S^5\times S^1$ 上不存在 pluriclosed 或 balanced 度量。

提出的方法

• 将 $\gamma_k$ 函数定义为与 Hermitian 度量 $\omega$ 相关的常数，通过共形方程 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$ 定义。
• 将问题约化为求解形如 $\Delta v + \psi(|\nabla v|^2) + \langle B, dv \rangle = f + c$ 的半线性椭圆 PDE，其中 $\psi(t) = t$ 时即为 $\gamma_k$ 情形。
• 应用紧致流形上半线性方程的先验估计与存在性理论，利用极限条件 $\liminf_{t\to\infty} \psi(t)/t^\mu \geq \nu > 0$，其中 $\mu > 1/2$。
• 利用散度定理与分部积分推导 PDE 可解性的相容性条件，确保常数 $c$ 唯一确定。
• 在 $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ 和 $S^5\times S^1$ 上构造显式的 Hermitian 度量 $\omega_0$，以计算 $\gamma_1$ 并验证其符号。
• 应用拓扑障碍（如上同调群为零、存在同调为零的复超曲面）排除 $S^5\times S^1$ 上存在 balanced 或 pluriclosed 度量的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致非 Kähler 复流形上，对 $1 \leq k \leq n-2$，是否存在 $k$-th Gauduchon 度量？
• RQ2 能否通过求解一个半线性 PDE，保证在给定 Hermitian 度量的共形类中此类度量的存在性？
• RQ3 $\gamma_k$ 函数作为共形不变量，在 $k$-th Gauduchon 度量存在性障碍中起什么作用？
• RQ4 能否构造出显式例子，使得某些流形存在 1-Gauduchon 度量但不存在 pluriclosed 或 balanced 度量？
• RQ5 哪些拓扑或几何条件会阻止某些紧致复流形上 pluriclosed 或 balanced 度量的存在？

主要发现

• 对于任意紧致 $n$-维 Hermitian 流形及任意 $1 \leq k \leq n-1$，存在唯一的常数 $\gamma_k$ 和光滑函数 $v$（在常数意义下唯一），使得 $\partial\bar{\partial}(e^v\omega^k)\wedge\omega^{n-k-1} = \gamma_k e^v \omega^n$，从而推广了 Gauduchon 的结果。
• 当 $k = n-1$ 时，$\gamma_{n-1} = 0$，恢复 Gauduchon 的原始定理；当 $\omega$ 为 Kähler 时，对所有 $k$ 有 $\gamma_k = 0$。
• 在 $X_\Lambda = \#_k(S^3\times S^3)$ 上，$\gamma_1 = -1$，故 $-1 \in \Xi_1(X_\Lambda)$，且 $\Xi_1(X_\Lambda) = \{-1, 0, 1\}$，证明了 1-Gauduchon 度量的存在性。
• 在 $S^5\times S^1$ 上，$\gamma_1 < 0$，故 $-1 \in \Xi_1(S^5\times S^1)$，且 $0 \in \Xi_1(S^5\times S^1)$，确认了 1-Gauduchon 度量的存在性。
• $S^5\times S^1$ 上不存在 pluriclosed 度量，通过反证法证明：利用 $\int \partial\bar{\partial}\omega \wedge \omega_0 < 0$ 与 $\omega \wedge \pi^*\omega_{FS}^2$ 的正性导出矛盾；且由于存在一个同调为零的复超曲面，故不存在 balanced 度量。
• $\gamma_k$ 函数是共形不变量：$\gamma_k$ 仅依赖于 $\omega$ 的共形类，且 $\gamma_k = 0$ 当且仅当在该共形类中存在 $k$-th Gauduchon 度量。