[论文解读] Semilinear Stochastic Evolution Equations with Lévy Noise and Monotone Nonlinearity

Erfan Salavati, Bijan Z. Zangeneh|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文通过迭代方法和针对由 Lévy 过程驱动的随机卷积积分提出的新颖 Itô 型不等式，建立了具有单调非线性漂移项的半线性随机演化方程在 Lévy 噪声驱动下的温和解的存在性、唯一性和稳定性。关键贡献在于无需对系数施加强制性条件，从而将适用范围扩展至双曲型 SPDE 和时滞方程。

ABSTRACT

Semilinear stochastic evolution equations with multiplicative Lévy noise and monotone nonlinear drift are considered. Unlike other similar work we do not impose coercivity conditions on coefficients. Existence and uniqueness of the mild solution is proved using an iterative method. The continuity of the solution with respect to initial conditions and coefficients is proved and a sufficient condition for exponential asymptotic stability of the solutions has been derived. The solutions are proved to have a Markov property. Examples on stochastic partial differential equations and stochastic delay equations are provided to demonstrate the theory developed. The main tool in our study is an Itô type inequality which gives a pathwise bound for the norm of stochastic convolution integrals.

研究动机与目标

• 建立具有乘性 Lévy 噪声和单调非线性漂移项的半线性随机演化方程温和解的存在性与唯一性。
• 消除以往研究中对系数强制性条件的依赖，从而扩大适用范围。
• 证明解关于初值和系数的连续性。
• 推导解指数渐近稳定性的充分条件。
• 证明解过程的马尔可夫性质，并通过 SPDE 和随机时滞方程的实例验证理论。

提出的方法

• 在非线性漂移项和扩散系数满足单调性和利普希茨条件的前提下，采用迭代方法构造温和解。
• 提出一种新颖的 Itô 型不等式，为由 Lévy 噪声驱动的随机卷积积分的范数提供路径依存的上界。
• 应用半群方法处理随机演化方程，利用希尔伯特空间上 $C_0$ 半群的无穷小生成元。
• 采用变分框架，借助稠密嵌入 $B \subset H \subset B^*$ 处理无界算子，并确保漂移项的单调性。
• 通过在乘积空间中将二阶双曲型 SPDE 和随机时滞方程转化为一阶系统，以应用主定理。
• 在适当的索伯列夫空间和勒贝格空间嵌入下，验证变换后的系数满足所需的单调性和利普希茨条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加系数强制性条件的情况下，为具有 Lévy 噪声和单调漂移的半线性 SPDE 建立温和解？
• RQ2 对于由 Lévy 噪声驱动的随机卷积积分，可能的路径依存估计有哪些？这些估计如何用于证明存在性和稳定性？
• RQ3 在存在乘性 Lévy 噪声的情况下，解如何关于初值和系数连续依赖？
• RQ4 在何种条件下解是指数渐近稳定的？
• RQ5 在此类一般设定下（含 Lévy 噪声和单调漂移），解过程是否具有马尔可夫性质？

主要发现

• 即使在不施加强制性条件的情况下，也建立了具有 Lévy 噪声和单调非线性漂移项的方程的温和解的存在性与唯一性。
• 解关于初值和系数具有连续性，表明其在扰动下具有鲁棒性。
• 推导出解指数渐近稳定性的充分条件，该条件依赖于单调性常数和噪声强度。
• 证明了解过程具有马尔可夫性质，从而可应用转移核等概率工具。
• 通过两个实例验证了理论：一个具有适当索伯列夫嵌入的随机抛物型 SPDE 和一个二阶随机双曲方程，两者均在希尔伯特空间中定义。
• Itô 型不等式为随机卷积积分提供了关键的路径依存上界，从而支持了存在性和稳定性的迭代证明。