[论文解读] Semilinear stochastic partial differential equations: central limit theorem and moderate deviations

Rangrang Zhang, Jie Xiong|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文为一类在有界域上由时空白噪声驱动的非线性随机偏微分方程（SPDEs）建立了中心极限定理（CLT）和中等偏差原理（MDP）。通过弱收敛方法和变分表示，证明了在CLT尺度下，解相对于其确定性极限的归一化偏差收敛于高斯过程，并在中间尺度下满足MDP，适用于如随机Burgers方程和随机反应-扩散型方程等方程。

ABSTRACT

In this paper, we establish a central limit theorem (CLT) and the moderate deviation principles (MDP) for a class of semilinear stochastic partial differential equations driven by multiplicative noise on a bounded domain. The main results can be applied to stochastic partial differential equations of various types such as the stochastic Burgers equation and the reaction-diffusion equations perturbed by space-time white noise.

研究动机与目标

• 为由时空白噪声驱动的非线性SPDE的解建立中心极限定理（CLT）。
• 为同一类SPDE推导中等偏差原理（MDP），弥合CLT与大偏差之间的差距。
• 解决在时空白噪声背景下，对具有时间依赖、非半鞅被积函数的随机积分上确界估计的挑战。
• 将现有CLT和MDP结果从时间白噪声模型扩展到更复杂的时空白噪声设置。
• 为具有乘性噪声的SPDE模型中的渐近置信区间提供统计推断的严格基础。

提出的方法

• 应用Dupuis和Ellis的弱收敛方法证明MDP，依赖于有界连续泛函拉普拉斯变换的变分表示公式。
• 利用BouÉ-Dupuis和Budhiraja-Dupuis的变分表示，将拉普拉斯原理与具有时空白噪声的SPDE的MDP联系起来。
• 在中间尺度 $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $，$ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ 下分析偏差过程 $ X^\varepsilon(t) = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon)}(u^\varepsilon - u^0)(t) $。
• 通过解差的随机积分表示使用扰动论证，将偏差分解为极限高斯过程和一个渐近可忽略的余项。
• 通过控制随机积分的上确界范数，利用Itô公式和Gronwall型估计，建立归一化偏差过程的紧性和依分布收敛性。
• 证明在满足线性增长和二次增长条件的假设下，极限过程满足由噪声系数 $ \sigma $ 驱动的线性化SPDE，其漂移项来自 $ b $ 和 $ g $ 的导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声强度 $ \varepsilon \to 0 $ 时，具有时空白噪声的非线性SPDE的解是否满足中心极限定理？
• RQ2 当尺度 $ \lambda(\varepsilon) $ 介于CLT与大偏差区域之间时，能否为这类SPDE建立中等偏差原理？
• RQ3 在时空白噪声背景下，如何控制具有时间依赖、非半鞅被积函数的随机积分的上确界？
• RQ4 在中间尺度下，归一化偏差 $ X^\varepsilon $ 在 $ C([0,T];L^2([0,1])) $ 中的极限行为是什么？
• RQ5 MDP中的极限过程是否与由噪声系数 $ \sigma $ 驱动的线性化SPDE的解具有相同的分布？

主要发现

• 具有时空白噪声的非线性SPDE的解满足中心极限定理，其中归一化偏差 $ X^\varepsilon $ 在 $ C([0,T];L^2([0,1])) $ 中依分布收敛于高斯过程。
• 在中间尺度 $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $，$ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ 下，为SPDE建立了中等偏差原理，通过弱收敛方法推导出速率函数。
• MDP中的极限过程满足由噪声系数 $ \sigma $ 驱动的线性化SPDE，其额外漂移项来自 $ b $ 和 $ g $ 的Fréchet导数。
• 通过将随机积分上确界估计的技术挑战分解为极限高斯过程与依概率趋于零的余项，证明了该方法的有效性。
• 建立了归一化解 $ \mathcal{G}^\varepsilon(W + \lambda(\varepsilon)\int h^\varepsilon) $ 依分布收敛于 $ \mathcal{G}^0(\int h) $，在给定尺度下确认了MDP。
• 结果适用于重要的模型，如随机Burgers方程和具有时空白噪声的随机反应-扩散方程，将先前关于LDP和CLT的结果扩展到了MDP领域。