[论文解读] Semisimple and $G$-equivariant simple algebras over operads

Pavel Etingof|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文将此前仅针对交换、结合和李代数已知的简单 $G$-等变代数的分类推广至任意线性操作符。证明了任意简单 $G$-等变 $C$-代数均同构于 $\mathrm{Fun}_H(G,B)$，其中 $H \leq G$ 且 $B$ 是带有 $H$-作用的简单 $C$-代数，从而将 Deligne范畴中关于复数域上有限生成操作符的结果推广至一般情形。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. There is a standard theorem on the classification of $G$-equivariant finite dimensional simple commutative, associative, and Lie algebras (i.e., simple algebras of these types in the category of representations of $G$). Namely, such an algebra is of the form $A={ m Fun}_H(G,B)$, where $H$ is a subgroup of $G$, and $B$ is a simple algebra of the corresponding type with an $H$-action. We explain that such a result holds in the generality of algebras over a linear operad. This allows one to extend Theorem 5.5 of arXiv:1506.07565 on the classification of simple commutative algebras in the Deligne category ${ m Rep}(S_t)$ to algebras over any finitely generated linear operad.

研究动机与目标

• 将此前仅针对交换、结合和李代数等特定类型已知的 $G$-等变简单代数分类推广至任意线性操作符。
• 为在 Deligne 范畴 $\mathrm{Rep}(S_t)$ 中对超越参数 $t$ 的简单 $C$-代数提供一个通用分类框架，利用操作符结构。
• 将 [S] 中定理 5.5 关于 $\mathrm{Rep}(S_t)$ 中简单交换代数的结果推广至任意有限生成线性操作符上的代数。
• 建立此类代数可通过具有群作用的简单 $C$-代数诱导得到的结论，利用 Frobenius 互反律与表示论技巧。

提出的方法

• 在域 $F$ 上定义线性操作符 $C$ 上的 $C$-代数，其结构映射 $\alpha_n: C(n) \to \mathrm{Hom}_F(A^{igotimes n}, A)$ 与操作符复合相容。
• 引入代数 $R_A = L_A + E_A$，其中 $L_A$ 是 $C(1)$ 的像，$E_A$ 是所有部分乘法算子张成的子空间；$E_A$ 是 $R_A$ 中的理想。
• 定义 $C$-代数为简单代数，若其无非平凡 $G$-不变理想且 $E_A \neq 0$；若其为有限个简单 $C$-代数的直和，则称为半单代数。
• 将 $\mathrm{Rad}(A)$ 构造为作为 $R_A$-模向最大半单商模的投影的核，证明 $A$ 半单当且仅当 $\mathrm{Rad}(A) = 0$。
• 利用 Frobenius 互反律证明任意简单 $G$-等变 $C$-代数同构于 $\mathrm{Fun}_H(G,B)$，其中 $H \leq G$ 是某极小理想的稳定子，$B$ 是带有 $H$-作用的简单 $C$-代数。
• 证明 $H$ 在 $G$ 中唯一（模共轭），且同态 $\phi: H \to \mathrm{Aut}(B)$ 在 $\mathrm{Aut}(B)$ 中唯一（模共轭），从而确立分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $G$-等变简单代数的分类从交换、结合和李代数等特定类型推广至任意线性操作符上的代数？
• RQ2 代数 $R_A = L_A + E_A$ 的结构及理想 $E_A$ 如何约束简单 $G$-等变 $C$-代数的分类？
• RQ3 根 $\mathrm{Rad}(A)$ 在判断半单性及商模 $\overline{A}$ 构造中的作用是什么？
• RQ4 Frobenius 互反律论证在操作符代数中能多大程度上推广，特别是在 Deligne 范畴的背景下？
• RQ5 能否将 [S] 中关于 $\mathrm{Rep}(S_t)$ 中简单交换代数的定理 5.5 推广至任意有限生成线性操作符上的代数？

主要发现

• 任意简单 $G$-等变 $C$-代数同构于某个子群 $H \leq G$ 及带有 $H$-作用的简单 $C$-代数 $B$ 的 $\mathrm{Fun}_H(G,B)$。
• 子群 $H$ 在 $G$ 中唯一（模共轭），同态 $\phi: H \to \mathrm{Aut}(B)$ 在 $\mathrm{Aut}(B)$ 中唯一（模共轭）。
• $\mathrm{Rad}(A)$ 为零当且仅当 $A$ 半单，且 $A/\mathrm{Rad}(A)$ 总是半单 $C$-代数。
• 该分类对无限群或仿射代数群也成立，构造方式相同，仅需使用有限指数子群及 $\mathrm{Aut}(B)$ 中的同态。
• 结果将 [S] 中定理 5.5 推广至复数域上任意有限生成线性操作符上的代数，其中 $B$ 为 $G \times S_{n-k}$-等变简单代数的插值。
• 在结合单位元代数的情形下，$B = \mathrm{End}(V)$，其中 $V$ 是 $\mathrm{Rep}(S_t)$ 中的对象；在李代数情形下，$B = \mathfrak{sl}(V), \mathfrak{o}(V)$ 或 $\mathfrak{sp}(V)$，具体取决于 $V$ 上的型。