[论文解读] Semisimple and separable algebras in multi-fusion categories

Liang Kong, Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在任意域上的多融合范畴中对半单与可分代数进行了分类，将Wedderburn-Artin定理推广到该设定。当Drinfeld中心为半单时，证明了半单代数的可分性仅受非分离域扩张的阻碍，并证明一个除法代数可分当且仅当其维度（通过对偶与同构定义）非零。

ABSTRACT

We give a classification of semisimple and separable algebras in a multi-fusion category over an arbitrary field in analogy to Wedderben-Artin theorem in classical algebras. It turns out that, if the multi-fusion category admits a semisimple Drinfeld center, the only obstruction to the separability of a semisimple algebra arises from inseparable field extensions as in classical algebras. Among others, we show that a division algebra is separable if and only if it has a nonvanishing dimension.

研究动机与目标

• 使用除法代数对多融合范畴中的半单代数进行分类，推广Wedderburn-Artin定理。
• 刻画多融合范畴中的可分代数，并识别可分性的阻碍因素。
• 定义并研究融合范畴中除法代数的维度，并将其与可分性关联。
• 建立多融合范畴的Drinfeld中心为半单的条件，特别是在正特征情形下。
• 将经典可分性结果推广至任意域，包括完美域与正特征域。

提出的方法

• 利用刚性张量范畴中模范畴与内部同态的理论分析代数结构。
• 通过复合 $\mathbf{1} \to A \otimes A^L \xrightarrow{f \otimes f^{-1}} A^L \otimes A \to \mathbf{1}$ 定义除法代数的维度，其中 $f: A \to A^L$ 是右 $A$-模的同构。
• 应用Drinfeld中心构造 $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$，将代数的可分性与中心的半单性联系起来。
• 通过对偶性利用等价关系 $\operatorname{RMod}_A(\mathcal{C}) \simeq \operatorname{LMod}_A(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}$ 研究模范畴。
• 使用代数可分当且仅当单位映射 $A \otimes A \to A$ 作为双模映射可裂的判别准则。
• 应用[ENO]中关于全局维数与Drinfeld中心半单性的结果，推导可分性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意域上的多融合范畴中，半单代数的结构是什么？
• RQ2 在这些范畴中，半单代数可分的必要与充分条件是什么？
• RQ3 融合范畴中除法代数的维度如何与它的可分性相关？
• RQ4 Drinfeld中心的半单性在决定代数可分性方面起什么作用？
• RQ5 在何种情况下，可分性简化为除法代数维度的非零？

主要发现

• 若Drinfeld中心为半单，则多融合范畴中的半单代数可分当且仅当唯一的阻碍来自非分离域扩张。
• 除法代数可分当且仅当其维度（通过涉及对偶与同构的复合定义）非零。
• 融合范畴 $\mathcal{C}$ 的全局维数（定义为 $\mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C}^{\mathrm{rev}}$ 中 $[\mathbf{1}, \mathbf{1}]$ 的维度）非零当且仅当 $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$ 为半单。
• 在特征零情形下，多融合范畴中的所有半单代数均为可分，因为全局维数恒非零。
• 对于完美域，若Drinfeld中心为半单或特征为零，则多融合范畴上半单模范畴之间的函子范畴为半单。