[论文解读] Semisimple Hopf algebras and their depth two Hopf subalgebras

Lars Kadison|ArXiv.org|Jul 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文证明了在代数闭域上特征为零的半单霍普夫代数中，任意深度为二的霍普夫子代数均为正规的。通过弗罗贝尼乌斯扩张理论、弱霍普夫代数伽罗瓦理论以及余代数理论中的典范同构，作者构建了一个从霍普夫代数到弱霍普夫代数的非单位代数同态，证明其核为双边理想 $HK^+H = K^+H$，从而通过伽罗瓦余作用确立了正规性。

ABSTRACT

We prove that a depth two Hopf subalgebra K of a semisimple Hopf algebra H is normal (where the ground field $k$ is algebraically closed of characteristic zero). This means on the one hand that a Hopf subalgebra is normal when inducing (then restricting) modules several times as opposed to one time creates no new simple constituents. This point of view was taken in the paper http://arxiv.org/abs/math/0409346 which established a normality result in case H and K are finite group algebras. On the other hand this means that K is normal in H when H | K is a Galois extension with respect to action of generalized bialgebras such as bialgebroids, weak Hopf algebras or Hopf algebroids. The generalized Galois picture of depth two is the point of view we take here: after showing the centralizer R is separable algebra via Hopf invariant theory, we compute that the depth two semisimple Hopf algebra pair H | K is free Frobenius extension with Markov trace satisfying all hypotheses considered in Kadison and Nikshych, Frobenius Extensions and Weak Hopf Algebras, J.Algebra 244 (2001). By the main theorem in that paper it is then a Galois extension with action of semisimple weak Hopf algebra (also regular and possessing Haar integral). Then the Galois canonical isomorphism (via coring theory) restricted to integral induces algebra homomorphism from Hopf algebra into weak Hopf algebra with kernel HK^+ = K^+H.

研究动机与目标

• 建立在代数闭域上特征为零的半单霍普夫代数中，深度为二的霍普夫子代数为正规的结论。
• 通过将深度为二的扩张与弱霍普夫代数作用联系起来，推广霍普夫代数的伽罗瓦对应关系。
• 提供马苏卡关于正规霍普夫子代数特征的弗罗贝尼乌斯理论证明。
• 阐明弗罗贝尼乌斯扩张与深度为二条件在霍普夫代数设定下的等价性。

提出的方法

• 利用半单霍普夫代数的弗罗贝尼乌斯结构及马尔科夫迹，确立中心化子子代数的自由性与可分性。
• 应用凯迪森与尼克施奇（2014）关于具有弱霍普夫代数伽罗瓦作用的弗罗贝尼乌斯扩张的主要定理。
• 通过伽罗瓦余作用，从霍普夫代数 $H$ 到弱霍普夫代数 $W = \mathrm{End}_K H_K$ 构造一个非单位代数同态 $\Phi: H \to W$。
• 利用伽罗瓦同构 $\beta: H \otimes_K H \to H \otimes W$ 分析 $\Phi$ 的像与核，证明 $\mathrm{Im}\,\Phi \cong H / HK^+H$。
• 运用施耐德典范同构比较 $H/K^+H$、$H/HK^+$ 与 $H/HK^+H$ 的维数，证明 $\dim \mathrm{Im}\,\Phi = n$。
• 通过证明诱导映射 $H/HK^+H \to \mathrm{Im}\,\Phi$ 为同构，确立 $HK^+H = K^+H$，从而推出 $K$ 的正规性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数闭域上特征为零的半单霍普夫代数中，任意深度为二的霍普夫子代数是否必然为正规的？
• RQ2 深度为二扩张的伽罗瓦余作用图像是否可用于在较大代数上定义弱霍普夫代数作用？
• RQ3 诱导同态 $\Phi: H \to W$ 的核是否与双边理想 $HK^+H$ 重合？
• RQ4 在深度为二扩张的背景下，$H/K^+H$、$H/HK^+$ 与 $H/HK^+H$ 的维数之间有何关系？
• RQ5 正规霍普夫子代数的特征是否可等价地用深度为二与伽罗瓦余作用来表述？

主要发现

• 在代数闭域上特征为零的半单霍普夫代数 $H$ 中，其深度为二的霍普夫子代数 $K$ 为正规的。
• 中心化子 $R = H^K$ 是一个可分代数，这是确立弗罗贝尼乌斯与伽罗瓦结构的关键步骤。
• 扩张 $H|K$ 是一个自由弗罗贝尼乌斯扩张，具有马尔科夫迹，满足凯迪森与尼克施奇（2014）主要定理的所有假设。
• 伽罗瓦典范同构 $\beta: H \otimes_K H \to H \otimes W$ 诱导出同构 $H/HK^+H \to \mathrm{Im}\,\Phi$，其中 $\Phi: H \to W$ 是一个非单位代数同态。
• $\Phi$ 的核为 $HK^+H = K^+H$，这表明 $K$ 在 $H$ 中为正规的。
• $\mathrm{Im}\,\Phi$ 的维数为 $n$，即 $K$ 在 $H$ 中的指数，且该维数与 $H/K^+H$ 的维数一致，从而确认了同构关系。