[论文解读] Semisimple types for p-adic classical groups

Michitaka Miyauchi, Shaun Stevens|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文利用Bushnell–Kutzko的覆盖理论，为奇剩余特征的局部域上的p进经典群——辛群、酉群和特殊正交群——构造了半单类型。证明了对于极大 Levi 子群，其关联的 Hecke 代数要么是交换的，要么是无限二面体群上的通用 Hecke 代数，且其参数可通过 Lusztig 的工作计算得出。

ABSTRACT

We construct, for any symplectic, unitary or special orthogonal group over a locally compact nonarchimedean local field of odd residual characteristic, a type for each Bernstein component of the category of smooth representations, using Bushnell--Kutzko's theory of covers. Moreover, for a component corresponding to a cuspidal representation of a maximal Levi subgroup, we prove that the Hecke algebra is either abelian, or a generic Hecke algebra on an infinite dihedral group, with parameters which are, at least in principle, computable via results of Lusztig.

研究动机与目标

• 将光滑表示的p进经典群类型理论扩展至已知情况之外，特别是针对奇剩余特征的群。
• 为经典群中每个 Bernstein 块 $\mathfrak{R}^\mathfrak{s}(G)$ 显式构造半单类型 $({\rm J}, \rho)$。
• 确定与极大 Levi 子群相关的 Hecke 代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ 的结构。
• 基于 Lusztig 对有限单代数群的结果，提供一个可计算的 Hecke 代数参数框架。

提出的方法

• 应用 Bushnell–Kutzko 的覆盖理论，将 Levi 子群上的特殊表示类型提升至完整群。
• 将类型 $({\rm J}, \lambda)$ 构造为 $\mathfrak{s}_{\rm M}$-类型 $({\rm J} \cap {\rm M}, \lambda|_{{\rm J} \cap {\rm M}})$ 的覆盖。
• 通过具有阶为 2 的循环商群的子群链 ${{\rm K}_i}$ 的诱导与限制，建立 Hecke 代数之间的保持支撑的同构。
• 利用归纳结构，通过无重数诱导诱导的同构，证明 $\mathscr{H}(G, \lambda_{\rm P}^*) \simeq \mathscr{H}(G, \lambda_{\rm P})$。
• 通过 $\chi_0$ 和 $\mathscr{H}(\mathscr{G}_i, \rho_{\rm M}^\mathsf{o} \chi_0)$ 将 Hecke 代数参数的计算约化为二次特征和有限 Hecke 代数。
• 利用 Lusztig 的结果，计算通用 Hecke 代数关系 $(T_i - q_i)(T_i + 1) = 0$ 中的参数 $q_i$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地为奇剩余特征的p进经典群中所有 Bernstein 块构造半单类型？
• RQ2 当 Levi 子群 $\rm M$ 为极大真子群时，Hecke 代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ 的结构是什么？
• RQ3 Hecke 代数中的参数 $q_i$ 如何与底层群和类型的表示论数据相关联？
• RQ4 能否利用有限单代数群的已知结果，显式计算 Hecke 代数的参数？
• RQ5 用于极大 Levi 子群的方法在多大程度上可推广至非极大 Levi 子群？

主要发现

• 对于任意非阿基米德局部域上奇剩余特征的辛群、酉群或特殊正交群，为每个 Bernstein 块均构造了 $\mathfrak{s}$-类型 $({\rm J}, \lambda)$。
• 类型 $({\rm J}, \lambda)$ 是 $\mathfrak{s}_{\rm M}$-类型 $({\rm J} \cap {\rm M}, \lambda|_{{\rm J} \cap {\rm M}})$ 的覆盖，确保与 Bernstein 分解的一致性。
• 当 $\rm M$ 为极大真 Levi 子群时，Hecke 代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ 要么是交换的（同构于 $\mathbb{C}[X^{\pm 1}]$），要么是无限二面体群上的通用 Hecke 代数。
• 在非交换情形下，Hecke 代数具有生成元 $T_0, T_1$，满足关系 $(T_i - q_i)(T_i + 1) = 0$，且 $q_i \in q_{\mathsf{o}}^{\mathbb{Z}}$。
• 参数 $q_i$ 可通过 Lusztig 对有限单代数群的工作计算得出，具体通过二次特征 $\chi_0$ 和 Hecke 代数 $\mathscr{H}(\mathscr{G}_i, \rho_{\rm M}^\mathsf{o} \chi_0)$。
• 该结果使得 L-包中特殊表示的显式计算成为可能，特别是在 $\rm N_G(\mathfrak{s}_{\rm M}) \neq \rm M$ 的情形下。