[论文解读] Semisimple Zariski closure of Coxeter groups

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提供了Vinberg结果的新证明，即非仿射、不可约的Coxeter群的几何表示在映射到Tits形式的正交群时仍保持忠实。通过使用相对Kazhdan性质(T)，作者证明了此类群的可解根平凡，并且其约化C*-代数是单的且具有唯一的归一化迹，从而将先前需要Tits形式非退化的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

Let W be an irreducible, finitely generated Coxeter group. The geometric representation provides an discrete embedding in the orthogonal group of the so-called Tits form. One can look at the representation modulo the kernel of this form; we give a new proof of the following result of Vinberg: if W is non-affine, then this representation remains faithful. Our proof uses relative Kazhdan Property (T). The following corollary was only known to hold when the Tits form is non-degenerate: the reduced C*-algebra of W is simple with a unique normalized trace. Some other corollaries are pointed out.

研究动机与目标

• 提供Vinberg关于非仿射Coxeter群几何表示忠实性的新证明。
• 将已知结果扩展至Tits形式非退化情形之外，即证明Coxeter群的约化C*-代数是单的且具有唯一的归一化迹。
• 利用相对Kazhdan性质(T)证明非仿射不可约Coxeter群具有平凡可解根。
• 刻画本原Coxeter群并将其结构与约化C*-代数的单性联系起来。
• 证明非仿射Coxeter群在正交群中的Zariski闭包是半单且Zariski稠密的。

提出的方法

• 将Coxeter群的几何表示嵌入由对称双线性形式定义的Tits形式的正交群中，其矩阵元为$-\cos(\pi/m_{st})$。
• 应用相对Kazhdan性质(T)，证明若$(W, \Lambda)$具有相对性质(T)，则任意子群$\Lambda \subset W$必为有限群，从而推出无扭子群的平凡性。
• 将问题约化为证明$W$在射影空间$P(V^*)$上的作用不保持任何Borel概率测度，利用Furstenberg关于不变测度的结果。
• 利用连通半单群$\mathrm{O}_0(\bar{B})$在$T_f$上无不变向量的事实，矛盾于不变测度的存在性。
• 利用有限体积子群和$W \ltimes V$中余紧嵌入下相对性质(T)的继承性，将该性质传递至原群。
• 应用已知结果：若离散群Zariski稠密地嵌入一个无紧因子的连通半单李群，则其约化C*-代数是单的且具有唯一的归一化迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 非仿射、不可约Coxeter群的几何表示在限制到Tits形式的核上时是否仍保持忠实？
• RQ2 能否使用相对Kazhdan性质(T)而非几何或代数方法重新证明忠实性结果？
• RQ3 在何种条件下，Coxeter群的约化C*-代数是单的且具有唯一的归一化迹？
• RQ4 非仿射Coxeter群的可解根结构如何？
• RQ5 当Coxeter群在商空间$W/\Lambda$上作用时，其中$\Lambda$为极大子群，何时该作用是忠实的？

主要发现

• 即使形式退化，非仿射、不可约Coxeter群的几何表示在Tits形式的正交群中仍保持忠实。
• 每个非仿射、不可约Coxeter群的可解根平凡，即$R(W) = \{1\}$。
• Coxeter群的约化C*-代数是单的且具有唯一的归一化迹，当且仅当其所有不可约因子均为非仿射。
• 无限、有限生成的Coxeter群是本原的，当且仅当其不可约且非仿射。
• 在非仿射情形下，群$W$可作为Zariski稠密子群嵌入半单正交群$\mathrm{O}_0(p,q)$，其中$p \geq 2$，$q \geq 1$。
• 证明表明，$\alpha(W) \cap T_f$生成的子群在$P(V^*)$上的作用不保持任何概率测度，这是相对性质(T)论证的关键。