[论文解读] Semistable Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups: Positive characteristic case

Guitang Lan, Mao Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 11

一句话总结

该论文在正特征下，建立了光滑射影概族的闭纤维上秩为二、陈类平凡的半稳定Higgs丛与该族的通用纤维的代数基本群的二维晶体表示之间的对应关系。论文引入了拟周期性Higgs丛和强Higgs半稳定Higgs丛作为中间结构，证明了拟周期性Higgs丛可导出真正的表示，并且陈类平凡的强Higgs半稳定Higgs丛与拟周期性Higgs丛等价，支持了所有半稳定Higgs丛均为强Higgs半稳定的猜想。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraic closure of finite fields with odd characteristic $p$ and a smooth projective scheme $\mathbf{X}/W(k)$. Let $\mathbf{X}^0$ be its generic fiber and $X$ the closed fiber. For $\mathbf{X}^0$ a curve Faltings conjectured that semistable Higgs bundles of slope zero over $\mathbf{X}^0_{\mathbb{C}_p}$ correspond to genuine representations of the algebraic fundamental group of $\mathbf{X}^0_{\mathbb{C}_p}$ in his $p$-adic Simpson correspondence. This paper intends to study the conjecture in the characteristic $p$ setting. Among other results, we show that isomorphism classes of rank two semistable Higgs bundles with trivial chern classes over $X$ are associated to isomorphism classes of two dimensional genuine representations of $\mathbf{X}^0$ and the image of the association contains all irreducible crystalline representations. We introduce intermediate notions strongly semistable Higgs bundles and quasi-periodic Higgs bundles between semistable Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups. We show that quasi-periodic Higgs bundles give rise to genuine representations and strongly Higgs semistable are equivalent to quasi-periodic. We conjecture that a Higgs semistable bundle is indeed strongly Higgs semistable.

研究动机与目标

• 将Faltings的$p$-进Simpson对应关系推广至正特征情形。
• 在正特征下，建立半稳定Higgs丛与代数基本群表示之间的对应关系。
• 引入并研究中间概念——强Higgs半稳定Higgs丛与拟周期性Higgs丛——以连接Higgs丛与表示。
• 证明秩为二、陈类平凡的半稳定Higgs丛与$\pi_1(\mathbf{X}^0)$的晶体表示之间存在一一对应。
• 提出猜想：所有半稳定Higgs丛均为强Higgs半稳定，推广已知的秩为二的情形结果。

提出的方法

• 将强Higgs半稳定Higgs丛的概念引入，作为正特征下强半稳定向量丛的推广。
• 将拟周期性Higgs丛定义为周期性Higgs子丛的推广，捕捉其在迭代弗罗贝尼乌斯拉回下的行为。
• 构造从类型$(e,f)$的拟周期性Higgs-de Rham序列到$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_{p^f})$的晶体表示的函子，在$e=0$时证明其等价性。
• 利用逆Cartier变换与$\mathcal{MF}^\nabla$-范畴理论，将Higgs丛与$p$-进表示联系起来。
• 证明Higgs丛为拟周期性当且仅当其为陈类平凡的强Higgs半稳定Higgs丛。
• 应用该理论，证明任意秩为二、陈类平凡的半稳定Higgs丛在闭纤维上均来自$\pi_1(\mathbf{X}^0)$的晶体表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在类似于$p$-进Simpson对应的正特征对应关系？
• RQ2 正特征下所有半稳定Higgs丛是否均为强Higgs半稳定？
• RQ3 拟周期性Higgs丛能否用于构造代数基本群的真正表示？
• RQ4 强Higgs半稳定丛与拟周期性Higgs丛之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，晶体表示能通过到闭纤维的特殊化映射分解？

主要发现

• 不可约晶体$\mathbb{F}_{p^f}$-表示的同构类$\pi_1(\mathbf{X}^0)$与周期为$f$的周期性Higgs-稳定丛的同构类之间存在一一对应。
• 拟周期性Higgs丛是陈类平凡的强Higgs半稳定Higgs丛，反之亦然：陈类平凡的强Higgs半稳定Higgs丛即为拟周期性Higgs丛。
• 在秩为二的情形下，半稳定性蕴含强Higgs半稳定性，支持了所有半稳定Higgs丛均为强Higgs半稳定的普遍猜想。
• 秩为二、陈类平凡的半稳定Higgs丛与$\mathrm{GL}_2(k)$中$\pi_1(\mathbf{X}^0)$的晶体表示之间的对应关系，对不可约晶体表示是满射。
• 在过滤$\mathcal{MF}^\nabla$-对象的分次项中，任意度数为零的Higgs子丛均为陈类平凡的强Higgs半稳定Higgs丛。
• 晶体表示$\tau$能通过特殊化映射$\pi_1(\mathbf{X}^0) \to \pi_1(X)$分解，当且仅当其滤子为平凡。