[论文解读] Semisymmetric elementary abelian covers of the Möbius-Kantor graph

Aleksander Malnič, Dragan Marušič+2 more|ArXiv.org|Oct 18, 2005

Finite Group Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文利用素数域上的自同构线性表示，对莫比乌斯-考特尔图（广义彼得森图 GP(8,3)）的所有成对非同构的极小半对称初等阿贝尔正则覆盖投影进行了分类。结果表明，当 p=2 时不存在此类覆盖；对于 p≡5,9,13,17,21(mod24)，其数量为 (p−1)/4；对于 p≡3,7,11,15,23,19(mod24)，其数量分别为 (p+1)/4 和 1+(p+1)/4，且每种情况均给出了明确的电压规则。

ABSTRACT

Let $\p_N \colon X o X$ be a regular covering projection of connected graphs with the group of covering transformations isomorphic to $N$. If $N$ is an elementary abelian $p$-group, then the projection $\p_N$ is called $p$-elementary abelian. The projection $\p_N$ is vertex-transitive (edge-transitive) if some vertex-transitive (edge-transitive) subgroup of $\Aut X$ lifts along $\p_N$, and semisymmetric if it is edge- but not vertex-transitive. The projection $\p_N$ is minimal semisymmetric if $p_N$ cannot be written as a composition $\p_N = \p \circ \p_M$ of two (nontrivial) regular covering projections, where $\p_M$ is semisymmetric. Finding elementary abelian covering projections can be grasped combinatorially via a linear representation of automorphisms acting on the first homology group of the graph. The method essentially reduces to finding invariant subspaces of matrix groups over prime fields (see {\em J. Algebr. Combin.}, {\bf 20} (2004), 71--97). In this paper, all pairwise nonisomorphic minimal semisymmetric elementary abelian regular covering projections of the Möbius-Kantor graph, the Generalized Petersen graph $\GP(8,3)$, are constructed. No such covers exist for $p =2$. Otherwise, the number of such covering projections is equal to $(p-1)/4$ and $1+ (p-1)/4$ in cases $p \equiv 5,9,13,17,21 (\mod 24)$ and $p \equiv 1 (\mod 24)$, respectively, and to $(p+1)/4$ and $1+ (p+1)/4$ in cases $p \equiv 3,7,11,15,23 (\mod 24)$ and $p \equiv 19 (\mod 24)$, respectively. For each such covering projection the voltage rules generating the corresponding covers are displayed explicitly.

研究动机与目标

• 对莫比乌斯-考特尔图（即广义彼得森图 GP(8,3)）的所有成对非同构的极小半对称初等阿贝尔正则覆盖投影进行分类。
• 确定对于哪些素数 p 存在这样的覆盖，以及其数量如何依赖于 p 模 24 的值。
• 利用有限域上的线性代数方法，显式构造生成每种覆盖投影的电压规则。
• 在每种情况下识别出能够提升的最大群，区分 H 群与 M 群。
• 澄清覆盖图本身不一定是半对称的，尽管覆盖投影是极小且半对称的。

提出的方法

• 该方法利用自同构在图的一阶同调群上的线性表示，将问题转化为在素数域上寻找矩阵群的不变子空间。
• 分析在有限域 Z_p 上进行，覆盖变换群为初等阿贝尔 p-群。
• 根据 p 模 24 的值，使用 Z_p^k（k=2 或 3）中的向量为边分配电压规则。
• 分类依赖于 Z_2×Z_2 对二次方程（如 α²+β²=−1 mod p 或 ν²=−i）解的作用，这些方程生成大小为四的轨道。
• 通过判断最大群 H 或 M 是否能提升，分析自同构群的提升，具体取决于参数。
• 构造基于正则覆盖投影理论以及自同构群 Aut(X) 沿覆盖映射的子群提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 p，存在莫比乌斯-考特尔图 GP(8,3) 的极小半对称初等阿贝尔正则覆盖投影？
• RQ2 对于每个素数 p，有多少个成对非同构的此类覆盖投影存在，且该数量如何依赖于 p 模 24 的值？
• RQ3 生成每种此类覆盖投影的显式电压规则是什么？
• RQ4 在每种情况下，是 H 群还是 M 群能够提升，这又如何依赖于素数 p 和电压赋值中的参数？
• RQ5 所得到的覆盖图本身是否也是半对称的，还是仅覆盖投影是半对称的？

主要发现

• 当 p=2 时，不存在极小半对称初等阿贝尔覆盖投影。
• 对于满足 p≡5,9,13,17,21(mod24) 的素数 p，此类覆盖投影的数量为 (p−1)/4。
• 对于满足 p≡1(mod24) 的素数 p，此类覆盖投影的数量为 1+(p−1)/4。
• 对于满足 p≡3,7,11,15,23(mod24) 的素数 p，此类覆盖投影的数量为 (p+1)/4。
• 对于满足 p≡19(mod24) 的素数 p，此类覆盖投影的数量为 1+(p+1)/4。
• 每种情况的电压规则均被明确列出，电压赋值在 Z_p^2 或 Z_p^3 中进行，具体取决于 p 模 24 的值，且覆盖投影在 Z_2×Z_2 作用下形成大小为四的轨道。