[论文解读] Semiuniform semigroups and convolution

Jan Pachl|ArXiv.org|Nov 21, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文引入了半均匀半群作为广义有限测度卷积的框架，将拓扑群上的结果推广到更广泛的半群类。研究证明，满足温和消去性质的无限离散半群是可 ambitable 的，从而实现了卷积代数中拓扑中心的可处理表征。

ABSTRACT

Semiuniform semigroups provide a natural setting for the convolution of generalized finite measures on semigroups. A semiuniform semigroup is said to be ambitable if each uniformly bounded uniformly equicontinuous set of functions on the semigroup is contained in an ambit. In the convolution algebras constructed over ambitable semigroups, topological centres have a tractable characterization.

研究动机与目标

• 将卷积代数和拓扑中心的理论从拓扑群推广到半均匀半群。
• 将此前仅针对拓扑群定义的 ambitability 概念推广到半均匀半群。
• 表征 ambitable 半均匀半群上卷积代数的拓扑中心。
• 建立无限离散半群成为 ambitable 的条件，从而获得卷积代数的结构性结果。
• 为研究具有相容一致结构的半群上的卷积和测度代数提供统一框架。

提出的方法

• 通过右乘法运算在半均匀积 $X \ast X$ 上的一致连续性来定义半均匀半群。
• 引入空间 $\mathbf{M}(X)$，即 $\mathbf{U}_b(X)$ 上有界一致连续泛函的集合，配备 UEB 拓扑。
• 定义子空间 $\mathbf{M}_u(X)$，即对所有伪度量 $\Delta$ 在 $\mathrm{Lip}^+(\Delta)$ 上连续的测度。
• 构造弱-* 紧化 $\overline{X}$ 和一致完备化 $\widehat{X} = \overline{X} \cap \mathbf{M}_u(X)$。
• 使用超限归纳法构造元素 $x_\alpha$，使得 $F_\alpha x_\alpha$ 两两不相交，且 $x \mapsto x x_\alpha$ 在 $F_\alpha$ 上是单射。
• 利用 $[0,1]^X$ 的拓扑（基大小为 $|X|$）构造一个函数 $f$，其轨道在 $\mathrm{Lip}^+(\Delta_X) = [0,1]^X$ 中稠密，从而证明 ambitability。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半群 $X$ 的卷积代数的拓扑中心可以被可处理地表征？
• RQ2 此前仅针对拓扑群定义的 ambitability 概念，如何推广到半均匀半群？
• RQ3 哪些无限离散半群是 ambitable 的？何种结构性质可保证这一点？
• RQ4 半群的代数性质（如消去性）与其卷积代数的拓扑结构之间存在何种关系？
• RQ5 关于拓扑中心和强 Arens 不规则性的结果，能在多大程度上超越拓扑群的范围？

主要发现

• 每个满足条件 (1) 和 (2) 的无限离散半群——即右消去性和弱左消去性——在 $[0,1]^X$ 中存在稠密轨道，从而证明其是 ambitable 的。
• 通过超限归纳法构造元素 $x_\alpha$，可确保集合 $F_\alpha x_\alpha$ 两两不相交，且右乘法映射在有限集上是单射。
• 因此，经仔细构造的函数 $f$ 的轨道在 $\mathrm{Lip}^+(\Delta_X) = [0,1]^X$ 中稠密，确认了 ambitability。
• 此类半群上的卷积代数 $\ell^1(X)$ 满足 $\ell^1(X) = \Lambda(\ell^\infty(X))$，表明其具有左强 Arens 不规则性。
• 半群本身满足 $X = \Lambda(\overline{X})$，表明该半群在测度代数意义下也具有左强 Arens 不规则性。
• 结果将先前关于拓扑群的研究成果推广到更广泛的半群类，包括离散群和赋范代数球。