[论文解读] Semmes surfaces and intrinsic Lipschitz graphs in the Heisenberg group

Katrin Fässler, Tuomas Orponen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 19

一句话总结

本文证明了海森堡群 H^k 中的 Semmes 曲面是下 Ahlfors-正则的，并具有内在 Lipschitz 图的大块（BPiLG），从而将大卫的经典欧几里得结果推广至该情形。证明方法基于量化非单调性以及适用于子黎曼几何设定的双边弱几何引理，进而也为此类欧几里得 Semmes 曲面提供了 BPiLG 性质的新证明。

ABSTRACT

A Semmes surface in the Heisenberg group is a closed set $S$ that is upper Ahlfors-regular with codimension one and satisfies the following condition, referred to as Condition B. Every ball $B(x,r)$ with $x \in S$ and $0 < r < \operatorname{diam} S$ contains two balls with radii comparable to $r$ which are contained in different connected components of the complement of $S$. Analogous sets in Euclidean spaces were introduced by Semmes in the late $80$'s. We prove that Semmes surfaces in the Heisenberg group are lower Ahlfors-regular with codimension one and have big pieces of intrinsic Lipschitz graphs. In particular, our result applies to the boundary of chord-arc domains and of reduced isoperimetric sets.

研究动机与目标

• 建立海森堡群 H^k 中 Semmes 曲面的下 Ahlfors-正则性与 BPiLG 性质。
• 通过将内在 Lipschitz 图作为基本构件，将定量可 rectify 性理论推广至子黎曼几何设定。
• 使用相同的几何与分析工具，为欧几里得空间中 Semmes 曲面的 BPiLG 性质提供新证明。
• 证明海森堡群 H^k 中弦-弧域的边界与约化等周集满足 BPiLG 条件。

提出的方法

• 将 Cheeger、Kleiner、Naor 与 Young 提出的量化非单调性概念，适配至海森堡群设定。
• 在 H^k 中引入水平宽度与相对于超平面的非单调性概念，利用直线空间上的自然测度。
• 证明 H^k 中垂直超平面的双边弱几何引理（BWGL），该引理控制集合在所有尺度上偏离平坦性的程度。
• 利用 BWGL 与下 Ahlfors-正则性，通过基于内在 Lipschitz 图的覆盖论证推导出 BPiLG 性质。
• 证明 BPiLG 与下正则性条件中的常数仅依赖于维数 k 以及上 Ahlfors-正则性与条件 B 的常数。
• 将该方法翻译至欧几里得设定，从而为 R^n 中 Semmes 曲面的 BWGL 与 BPiLG 提供新证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 海森堡群 H^k 中的 Semmes 曲面是否满足类似于其欧几里得对应物的 BPiLG 性质？
• RQ2 量化非单调性概念能否在 H^k 的子黎曼几何中有效适配，以证明可 rectify 性结果？
• RQ3 H^k 中 Semmes 曲面的下 Ahlfors-正则性是否仅由条件 B 决定，而与周围几何无关？
• RQ4 内在 Lipschitz 图在 H^k 中是否满足双边弱几何引理？该引理能否用于推导 BPiLG？
• RQ5 在 H^k 中使用的相同几何与分析框架，能否用于恢复欧几里得空间中的已知结果，如 Semmes 曲面的 BWGL 与 BPiLG？

主要发现

• H^k 中的 Semmes 曲面是下 Ahlfors-正则的，其维数为 2k+1，下正则性常数仅依赖于 k 与条件 B 常数。
• H^k 中的 Semmes 曲面满足 BPiLG 性质，其中常数 L 与 c 仅依赖于 k 以及上 Ahlfors-正则性与条件 B 常数。
• 该证明建立了 H^k 中垂直超平面的双边弱几何引理（BWGL），该引理控制曲面在所有尺度上偏离平坦性的程度。
• 该方法为欧几里得空间中 Semmes 曲面的 BWGL 与 BPiLG 性质提供了新证明，且独立于原始基于局部对称性的论证。
• BPiLG 性质蕴含 H^k 中的 (2k+1) 维 H-可 rectify 性，即该集合可被可数个内在 Lipschitz 图几乎处处覆盖。
• 该结果适用于 H^k 中弦-弧域的边界与约化等周集，这些集合已知满足条件 B 与上 Ahlfors-正则性。