[论文解读] Sending quantum entanglement through noisy channels

Benjamin Schumacher|ArXiv.org|Apr 22, 1996

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用 32

一句话总结

本文引入了量子纠缠保真度 $F_e$ 和熵产生 $S_e$ 作为衡量噪声量子信道中量子纠缠保持程度的指标。证明了 $F_e$ 和 $S_e$ 仅依赖于系统 $Q$ 的动力学，而不依赖于参考系统 $R$，并建立了一个类似 Fano 不等式的关联关系，表明更高的噪声（熵产生）会限制纠缠保真度。这些结果深化了对量子纠错和量子密码学安全性的理解。

ABSTRACT

This paper addresses some general questions of quantum information theory arising from the transmission of quantum entanglement through (possibly noisy) quantum channels. A pure entangled state is prepared of a pair of systems $R$ and $Q$, after which $Q$ is subjected to a dynamical evolution given by the superoperator $\superop^{Q}$. Two interesting quantities can be defined for this process: the entanglement fidelity $F_{e}$ and the entropy production $S_{e}$. It turns out that neither of these quantities depends in any way on the system $R$, but only on the initial state and dynamical evolution of $Q$. $F_{e}$ and $S_{e}$ are related to various other fidelities and entropies, and are connected by an inequality reminiscent of the Fano inequality of classical information theory. Some insight can be gained from these techniques into the security of quantum cryptographic protocols and the nature of quantum error-correcting codes.

研究动机与目标

• 定义并分析新的度量——纠缠保真度 $F_e$ 和熵产生 $S_e$，用于评估噪声量子信道在保持量子纠缠方面的性能。
• 证明 $F_e$ 和 $S_e$ 仅依赖于系统 $Q$ 的动力学，而非参考系统 $R$，从而实现不依赖纠缠源的信道表征。
• 建立一个基本不等式，将 $F_e$ 与 $S_e$ 联系起来，该不等式类似于经典 Fano 不等式，表明量子噪声限制了纠缠的保持。
• 通过这些新度量，为量子密码协议的安全性以及量子纠错码的结构提供洞见。

提出的方法

• 将纠缠保真度 $F_e = \big\bra{\tilde{\rho}^{RQ'}}\big\ra$ 定义为初始纠缠态 $|\tilde{\rho}^{RQ}\rangle$ 与经过信道演化后的最终态 $\rho^{RQ'}$ 之间的重叠。
• 将熵产生 $S_e$ 定义为系统 $Q$ 与其环境 $E$ 之间信息交换的度量，用于量化信道中的量子噪声。
• 使用算子和表示 $\mathcal{E}^Q(\rho^Q) = \sum_\mu A^Q_\mu \rho^Q (A^Q_\mu)^\dagger$ 描述一般量子信道，确保完全正性和迹保持性。
• 通过联合系统 $RQ'$ 的纯化，推导信道的酉表示，将演化嵌入包含环境 $E$ 的更大希尔伯特空间中。
• 建立算子和表示与 $\rho^{RQ'}$ 的纯态系综之间的一一对应关系，表明不同表示源于对环境的酉变换。
• 证明 $F_e \leq \bar{F}$，其中 $\bar{F}$ 是纯态系综上的平均保真度，从而将纠缠保真度与标准信道保真度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种能隔离信道对系统 $Q$ 的影响的方式，量化噪声量子信道中纠缠传输的保真度？
• RQ2 环境在退化纠缠中起什么作用？能否独立于参考系统 $R$ 对其进行量化？
• RQ3 是否存在纠缠保真度与信道引入的噪声量（熵产生）之间的根本权衡？
• RQ4 新度量 $F_e$ 和 $S_e$ 如何与量子信息理论中的现有概念（如平均保真度和量子纠错）相关联？
• RQ5 通过这些新的基于纠缠的度量，能否更好地理解量子纠错码的结构和量子密码学的安全性？

主要发现

• 纠缠保真度 $F_e$ 仅依赖于系统 $Q$ 的初始状态和动力学演化，而不依赖于参考系统 $R$，使其成为一种信道特异性度量。
• 熵产生 $S_e$ 量化了信道演化过程中与环境交换的信息量，作为量子噪声的度量。
• 存在一个类 Fano 不等式：$F_e \leq 1 - \frac{1}{d} H(S_e)$，其中 $d$ 是 $Q$ 的希尔伯特空间维数，表明更高的熵产生会限制纠缠保真度。
• 对 $Q$ 的纯态系综的平均保真度 $\bar{F}$ 是 $F_e$ 的上界，意味着保持纠缠的信道也保持了通用纯态信息。
• 信道 $\mathcal{E}^Q$ 的算子和表示与 $\rho^{RQ'}$ 的纯态系综之间存在一一对应关系，且不同表示由对环境的酉变换关联。
• 信道的酉表示可从 $\rho^{RQ'}$ 的纯化中导出，且所有此类表示在环境希尔伯特空间上的酉变换下等价。