[论文解读] Sensitive dependence of Gibbs measures

Daniel Coronel, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文展示了在低温下，经典格点系统中吉布斯测度对相互作用的敏感依赖性，表明在光滑或Lipschitz连续势能下，任意微小的扰动均可引致结果吉布斯测度的大幅波动。它在有限状态系统中建立了二维的混沌温度依赖性，并解决了Chazottes与Hochman提出的一些开放问题。

ABSTRACT

Gibbs measures can behave chaotically as the temperature drops to zero. We observe that for some classical lattice systems there is a related phenomenon of sensitive dependence of Gibbs measures: An arbitrarily small perturbation of the interaction can produce significant fluctuations of low-temperature Gibbs measures. For the XY model we exhibit the sensitive dependence of Gibbs measures for a (nearest-neighbor) interaction given by a smooth function, and for perturbations that are small in the smooth category. We also exhibit the sensitive dependence of Gibbs measures for classical lattice systems with finite-state space. The interaction decreases exponentially as a function of the distance between sites; it is given by a Lipschitz continuous potential in the configuration space. The perturbations are small in the Lipschitz topology. As a by-product we obtain for the first time the chaotic temperature dependence in dimension 2 for a finite-state space model, and solve some problems stated by Chazottes and Hochman.

研究动机与目标

• 研究在经典格点系统中，低温下相互作用势能的微小变化如何影响吉布斯测度。
• 证明即使在光滑或Lipschitz拓扑下的任意微小扰动下，吉布斯测度对相互作用的依赖性仍可表现出混沌性。
• 解决Chazottes与Hochman提出的关于有限状态格点模型中混沌温度依赖性的开放问题。
• 首次建立二维有限状态系统中混沌温度依赖性的例子，其相互作用呈指数衰减。

提出的方法

• 在光滑类别下，分析具有光滑近邻相互作用的XY模型的吉布斯测度，并施加小扰动。
• 构造具有指数衰减相互作用和配置空间中Lipschitz连续势能的有限状态格点系统。
• 利用微扰理论与遍历理论研究吉布斯测度对相互作用参数变化的敏感性。
• 采用Lipschitz拓扑量化微小扰动，并评估其对结果平衡测度的影响。
• 应用统计力学与动力系统的结果，证明在低温区域中混沌波动的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相互作用势能中，任意微小的扰动是否会导致经典格点系统中低温吉布斯测度的显著变化？
• RQ2 在相互作用的微小光滑扰动下，XY模型是否表现出吉布斯测度对相互作用的敏感依赖性？
• RQ3 在具有指数衰减相互作用的二维有限状态格点模型中，能否观察到混沌温度依赖性？
• RQ4 Lipschitz拓扑在表征吉布斯测度对相互作用变化的敏感性方面起什么作用？
• RQ5 这些结果如何解决Chazottes与Hochman提出的关于混沌温度依赖性的开放问题？

主要发现

• 本文确立了在XY模型中，吉布斯测度在任意微小光滑扰动下对相互作用表现出敏感依赖性。
• 对于具有指数衰减相互作用的有限状态格点系统，Lipschitz拓扑下的微小扰动会导致低温吉布斯测度的显著波动。
• 本研究首次提供了二维有限状态系统中混沌温度依赖性的例子。
• 结果解决了Chazottes与Hochman长期提出的关于有限状态模型中混沌温度依赖性存在的开放问题。
• 分析证实，吉布斯测度的敏感性在相互作用结构的最小变化下依然稳健，凸显了低温平衡态的内在不稳定性。