[论文解读] Sensitivity analysis of hybrid systems with state jumps with application to trajectory tracking

Alessandro Saccon, Nathan van de Wouw+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文为具有状态跳变的混合系统提出了一种新颖的一阶敏感性分析框架，引入了一种新的误差概念，以在跳跃时间不匹配的情况下近似扰动轨迹。该研究通过结合跳跃增益和带状态重置的Riccati方程，将线性二次型调节器（LQR）控制推广至轨迹跟踪，实现了对具有不连续动力学的混合系统中时变参考轨迹的局部稳定化。

ABSTRACT

This paper addresses the sensitivity analysis for hybrid systems with discontinuous (jumping) state trajectories. We consider state-triggered jumps in the state evolution, potentially accompanied by mode switching in the control vector field as well. For a given trajectory with state jumps, we show how to construct an approximation of a nearby perturbed trajectory corresponding to a small variation of the initial condition and input. A major complication in the construction of such an approximation is that, in general, the jump times corresponding to a nearby perturbed trajectory are not equal to those of the nominal one. The main contribution of this work is the development of a notion of error to clarify in which sense the approximate trajectory is, at each instant of time, a firstorder approximation of the perturbed trajectory. This notion of error naturally finds application in the (local) tracking problem of a time-varying reference trajectory of a hybrid system. To illustrate the possible use of this new error definition in the context of trajectory tracking, we outline how the standard linear trajectory tracking control for nonlinear systems -based on linear quadratic regulator (LQR) theory to compute the optimal feedback gain- could be generalized for hybrid systems.

研究动机与目标

• 为解决在状态跳变导致名义轨迹与扰动轨迹跳跃时间不匹配的混合系统中，敏感性分析所面临的挑战。
• 在存在不连续状态演化和模式切换的情况下，建立扰动轨迹的严格一阶近似。
• 定义一种新型误差度量，使得即使跳跃时间不同，也能在每一时刻对名义轨迹与扰动轨迹进行局部比较。
• 通过整合跳跃动态和时变反馈增益，将标准LQR轨迹跟踪控制推广至具有状态触发跳跃的混合系统。
• 实现对具有状态触发跳跃的混合系统中时变参考轨迹的局部稳定化，特别是在参考轨迹与系统跳跃时间不一致的情况下。

提出的方法

• 利用隐函数定理推导跳跃增益矩阵 $ H $，其定义见公式 (31)，以量化在小扰动下状态跳跃的大小。
• 提出一种新的误差概念，用于度量名义轨迹与扰动轨迹之间的一阶偏差，同时考虑跳跃时刻的时间偏移。
• 为具有状态跳变的混合系统提出一种两阶段线性二次型调节器（LQR）公式，采用分段线性动力学和带跳跃条件的Riccati方程。
• 将系统动力学建模为两个区间：跳跃前与跳跃后，其中状态转换由 $ z^+ = z^- + Hz^- $ 描述，并在有限时域内求解最优控制问题。
• 推导出反馈增益 $ K(t) = R^{-1}B^T P(t) $，其中 $ P(t) $ 满足一个带跳跃时刻重置条件的Riccati微分方程：$ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $。
• 通过计算一种切换反馈律，将解应用于轨迹跟踪，即使跳跃时间不一致，也能实现系统在时变参考轨迹周围的局部稳定化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当名义轨迹与扰动轨迹的跳跃时间不一致时，如何在具有状态跳变的混合系统中构建扰动轨迹的一阶近似？
• RQ2 在具有不连续动力学的混合系统中，如何定义一种数学上严谨且有意义的误差度量，以实现对名义轨迹与扰动轨迹的局部比较？
• RQ3 如何将标准LQR轨迹跟踪控制扩展至具有状态触发跳跃和非同步跳跃事件的混合系统？
• RQ4 跳跃增益矩阵 $ H $ 在混合系统中跨不连续性传播敏感性方面起什么作用？
• RQ5 重置条件 $ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $ 如何影响混合LQR框架中的最优反馈增益？

主要发现

• 该论文提出了一种新型误差度量，可量化在跳跃时间不同的情况下，具有状态跳变的混合系统中名义轨迹与扰动轨迹之间的一阶偏差。
• 通过隐函数定理推导出的跳跃增益 $ H $，可实现对不连续状态转换中敏感性的精确传播。
• 提出了一种两区间LQR公式，其Riccati方程在跳跃时刻包含重置条件，确保值函数在跳跃处的连续性。
• 反馈增益 $ K(t) $ 通过带跳跃引起的重置的时变Riccati方程计算得出，可实现对时变参考轨迹的局部稳定化。
• 所提出的方法通过整合跳跃动态，将标准LQR控制推广至混合系统，即使系统与参考轨迹的跳跃时刻不匹配，也能实现有效的轨迹跟踪。
• 该方法与轨迹镜像技术一致，并为混合系统中二阶敏感性分析在数值最优控制中的应用打开了大门。