[论文解读] Sensitivity analysis of the utility maximization problem with respect to model perturbations

Oleksii Mostovyi, Mihai Ŝırbu|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文针对不完全连续半鞅市场中市场风险价格扰动下的效用最大化问题，发展了一种二阶灵敏度分析方法。通过引入对偶公式并以风险容忍财富过程作为计价单位，利用Kunita-Watanabe分解，推导出价值函数、最优终端财富及交易策略的显式二阶近似表达式，即使在小模型扰动下闭式解不再存在时，也能实现高精度近似。

ABSTRACT

We study the sensitivity of the expected utility maximization problem in a continuous semi-martingale market with respect to small changes in the market price of risk. Assuming that the preferences of a rational economic agent are modeled with a general utility function, we obtain a second-order expansion of the value function, a first-order approximation of the terminal wealth, and construct trading strategies that match the indirect utility function up to the second order. If a risk-tolerance wealth process exists, using it as a numéraire and under an appropriate change of measure, we reduce the approximation problem to a Kunita-Watanabe decomposition.

研究动机与目标

• 分析不完全连续半鞅市场中，预期效用最大化问题对市场风险价格小扰动的敏感性。
• 在相对风险厌恶有界的广义效用函数下，推导价值函数的二阶展开式及最优终端财富的一阶校正项。
• 构造与间接效用函数在二阶精度内匹配的近似交易策略。
• 建立此类二阶近似存在性与风险容忍财富过程存在性之间的联系。
• 为在扰动下失去闭式解的模型，提供一种构造最优投资策略近似解的方法。

提出的方法

• 通过同时扰动市场风险价格与初始财富，提升问题维度，以实现价值函数的二阶展开。
• 构建辅助二次随机控制问题，将原始问题与对偶问题的价值函数的二阶近似关系映射到此类问题。
• 以风险容忍财富过程作为计价单位，通过适当的测度变换，将问题转化为由扰动过程生成的局部鞅的Kunita-Watanabe分解。
• 运用对偶理论与半鞅技术，将最优财富与对偶过程与二次优化问题的解联系起来。
• 通过抽象定理验证二阶展开存在的条件，并将主要结果简化为可测性与可积性条件的验证。
• 将该框架应用于含两种可交易资产的幂效用模型，其中在未扰动情况下存在显式解，并利用Kunita-Watanabe分解推导出校正项的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不完全市场中，当市场风险价格发生小扰动时，效用最大化问题的价值函数如何变化？
• RQ2 当价值函数在初始财富与扰动参数上不联合严格凹时，能否构造出价值函数的二阶展开式？
• RQ3 风险容忍财富过程在实现最优终端财富与交易策略的显式二阶近似中起到何种作用？
• RQ4 如何利用Kunita-Watanabe分解刻画在扰动下最优策略的校正项？
• RQ5 在因参数扰动而失去闭式解的模型中，可在多大程度上构造出近似最优策略？

主要发现

• 即使价值函数在扰动变量上不为凹，仍可为具有有界相对风险厌恶的广义效用函数推导出价值函数的二阶展开式。
• 通过与扰动过程相关的局部鞅的Kunita-Watanabe分解，实现了最优终端财富的一阶校正。
• 当风险容忍财富过程存在时，在由风险容忍过程诱导的测度与计价单位下，价值函数与最优策略的校正项可通过Kunita-Watanabe分解显式表达。
• 对于幂效用模型，二阶展开中的系数——$a(x,x)$、$a(x,d)$ 与 $a(d,d)$——在测度 $\mathbb{R}(1,0)$ 下以期望形式显式计算，分别涉及 $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$、$\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[N^1_T(1,0)^2]$ 与 $\mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F^2 + G]$。
• 作为随机收益的扰动的边际效用定价为 $a(x,d) = -p \mathbb{E}^\mathbb{R}(1,0)[F]$，将校正项与经济定价联系起来。
• 最优财富与对偶过程在初始财富与对偶变量上的导数收敛于 $\mathbb{P}$-概率意义下，验证了一阶灵敏度结果的有效性。