[论文解读] Sensitivity versus block sensitivity of Boolean functions

Madars Virza|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文构建了一个新的布尔函数族，其满足 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$，相较于Rubinstein此前的二次分离 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$ 有所改进。该构造利用不相交的变量段，并在每段中采用特定的1的排列模式，以在保持敏感度较低的同时最大化块敏感度；通过基于SAT的穷举搜索，确认该界对于最多12个变量的函数是紧致的。

ABSTRACT

Determining the maximal separation between sensitivity and block sensitivity of Boolean functions is of interest for computational complexity theory. We construct a sequence of Boolean functions with bs(f) = 1/2 s(f)^2 + 1/2 s(f). The best known separation previously was bs(f) = 1/2 s(f)^2 due to Rubinstein. We also report results of computer search for functions with at most 12 variables.

研究动机与目标

• 为解决布尔函数中敏感度与块敏感度之间的差距这一计算复杂性领域的核心开放问题。
• 在Rubinstein的二次分离界限 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$ 的基础上进一步改进。
• 通过穷举搜索小变量函数，探究该二次分离是否最优。
• 构造一个函数族，使其相对于敏感度的块敏感度高于此前已知的任何函数。

提出的方法

• 在 $n = (2k+1)^2$ 个变量上构造一个函数，将其划分为 $2k+1$ 个部分，每部分包含 $2k+1$ 个变量。
• 定义该函数在至少一个部分为“良好”时输出1，其中“良好”部分指包含一对相邻1，或最后一个位置为1的单个1。
• 通过证明每个部分最多翻转一位比特可改变函数值，证明敏感度 $s(f) = 2k+1$。
• 通过限制块大小和总变量数，证明块敏感度 $bs(f) = (2k+1)(k+1)$。
• 使用动态规划统计比特翻转次数，将块敏感度与敏感度的约束转化为SAT实例。
• 使用SAT求解器对最多12个变量的所有布尔函数进行穷举搜索，以验证该界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在任何输入规模下，布尔函数的块敏感度超过 $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$？
• RQ2 敏感度与块敏感度之间的二次分离是否最优，或可进一步改进？
• RQ3 在敏感度固定的前提下，最多12个变量的布尔函数中，最大块敏感度是多少？
• RQ4 新构造是否实现了目前已知最紧的敏感度与块敏感度之间的分离？
• RQ5 基于SAT的枚举能否确认：对于所有满足 $n \leq 12$ 的函数，均不存在违反界限 $bs(f) \leq \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ 的情况？

主要发现

• 所构造的函数实现了 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$，优于Rubinstein的 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$。
• 对于所有最多12个变量的布尔函数，块敏感度均不超过 $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$，表明该界可能为紧致界。
• 所构造函数族的敏感度 $s(f)$ 恰好为 $2k+1$，块敏感度 $bs(f)$ 恰好为 $(2k+1)(k+1)$。
• 基于SAT的穷举搜索确认：对于给定的 $s(f)$，不存在 $n \leq 12$ 个变量的函数能达到高于所提边界的 $bs(f)$。
• 结果支持了该二次分离几乎最优的猜想，尤其在块大小受限条件下更为显著。
• 分析表明，由于总变量数和敏感度限制的约束，块敏感度不可能超过 $(2k+1)(k+1)$。