[论文解读] Separability of Density Matrices and Conditional Information Transmission

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|May 28, 2000

Neural Networks and Applications参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文通过量子条件互信息，建立了关于两体量子密度矩阵可分性的必要且充分条件。证明了当在更大系统中存在一种纯化，使得在环境条件下两子系统之间的条件互信息为零时，该态是可分的，前提是其约化密度矩阵满足特定的对易性和非退化性条件。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions under which a density matrix acting on a two-fold tensor product space is separable. Our conditions are given in terms of quantum conditional information transmission.

研究动机与目标

• 阐明量子条件信息传输与两体密度矩阵可分性之间隐藏的关系。
• 在包含环境的扩展系统中，以条件互信息的形式对可分性进行表征。
• 将可分性的概念推广至有限维环境的扩展情形，并探讨无限维极限下的弱可分性。
• 将零条件互信息的条件与密度矩阵的结构及其谱性质联系起来。
• 通过分析给定态在扩展系统中条件互信息的行为，区分不同类型的纠缠。

提出的方法

• 引入三体系统（A, B, E）中条件可分性的概念，其中态可表示为在环境E条件下的一组乘积态的凸组合。
• 使用约化密度矩阵的冯诺依曼熵定义量子条件互信息 $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] $。
• 应用量子熵的强亚加性不等式，该不等式在且仅在 $ \log\rho = \log\rho_{{\underline{x}}{\underline{e}}} + \log\rho_{{\underline{y}}{\underline{e}}} - \log\rho_{{\underline{e}}} $ 时取等。
• 利用强亚加性不等式的取等条件，通过在扩展系统中纯化推导出可分性的必要且充分条件。
• 施加附加约束：$ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{e}}} $ 两两对易，且 $ \sigma_{{\underline{e}}} $ 的特征值非退化且非零。
• 证明在这些条件下，扩展态 $ \sigma $ 是条件可分的，且对环境部分进行部分迹后得到的态 $ \rho $ 为可分态。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子条件信息传输与两体密度矩阵可分性之间有何关系？
• RQ2 在包含环境的扩展系统中，何种条件可确保两子系统约化态为可分态？
• RQ3 强亚加性不等式的取等是否可用于通过在更大系统中纯化来表征可分态？
• RQ4 环境密度矩阵的非退化且非零特征值在确保可分性中起什么作用？
• RQ5 扩展系统中约化密度矩阵的对易性条件如何与可分态的结构相关联？

主要发现

• 当且仅当存在一个扩展 $ \sigma \in \mathcal{D}(\mathcal{H}_{{\underline{x}}{\underline{y}}{\underline{e}}}) $，使得 $ \rho = \text{tr}_{\underline{e}}\sigma $，$ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] = 0 $，且约化密度矩阵 $ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{e}}} $ 两两对易且具有非退化、非零特征值时，密度矩阵 $ \rho \in \mathcal{D}(\mathcal{H}_{{\underline{x}}{\underline{y}}}) $ 是可分的。
• 条件 $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] = 0 $ 对应于量子熵强亚加性不等式的取等，该取等精确发生在 $ \log\sigma = \log\sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}} + \log\sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}} - \log\sigma_{{\underline{e}}} $ 时。
• 当 $ \sigma_{{\underline{e}}} $ 的特征值非退化且非零时，约化密度矩阵的对易性意味着 $ \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}} $ 和 $ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}} $ 在 $ \mathcal{H}_{\underline{e}} $ 的基底下为对角矩阵，从而可分解为条件可分形式。
• 由此得到的态 $ \sigma $ 可表示为 $ \sigma = \sum_e w_e |e\rangle\!\langle e| \otimes \rho_{{\underline{x}}}^e \otimes \rho_{{\underline{y}}}^e $，证明了对 $ \mathcal{H}_{\underline{e}} $ 进行部分迹后 $ \rho $ 为可分态。
• 本文识别出一类纠缠态 $ \mathcal{D}_{\text{pos}} $，其所有扩展均满足 $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] \neq 0 $，从而将其与可分态区分开来。
• 该定理可推广至 $ n $ 重张量积空间，从而将框架扩展至多体系统。