[论文解读] Separability of mixed Dicke states: an NP-hard optimization problem

Jordi Tura, Albert Aloy+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本文通过将量子系统中对角对称（DS）态的可分性问题重新表述为二次锥规划问题，证明了其为NP难问题。研究证明当 d ≤ 4 时，部分转置正定性（PPT）是可分性的必要且充分条件，并为 d ≥ 5 构造了PPT-纠缠态的解析例子，同时提出了针对双粒子DS态的超越PPT的新可分性充分条件，还识别出N粒子DS量子比特中的PPT-纠缠态。

ABSTRACT

We study the separability problem in mixtures of Dicke states i.e., the separability of the so-called Diagonal Symmetric (DS) states. First, we show that separability in the case of DS in $C^d\otimes C^d$ (symmetric qudits) can be reformulated as a quadratic conic optimization problem. This connection allows us to exchange concepts and ideas between quantum information and this field of mathematics. For instance, copositive matrices can be understood as indecomposable entanglement witnesses for DS states. As a consequence, we show that positivity of the partial transposition (PPT) is sufficient and necessary for separability of DS states for $d \leq 4$. Furthermore, for $d \geq 5$, we provide analytic examples of PPT-entangled states. Second, we develop new sufficient separability conditions beyond the PPT criterion for bipartite DS states. Finally, we focus on $N$-partite DS qubits, where PPT is known to be necessary and sufficient for separability. In this case, we present a family of almost DS states that are PPT with respect to each partition but nevertheless entangled.

研究动机与目标

• 确定混合Dicke态（特别是对称量子比特中的对角对称DS态）可分性问题的复杂性。
• 建立DS态可分性与二次锥优化之间的联系，从而实现与非负矩阵等数学概念的交叉融合。
• 研究PPT判据在不同维度 d 下是否对DS态的可分性具有充分性。
• 为双粒子DS态开发超越PPT判据的新可分性充分条件。
• 分析N粒子DS量子比特中纠缠结构，特别是与PPT判据的关系。

提出的方法

• 将 $C^d \otimes C^d$ 中DS态的可分性问题重新表述为二次锥优化问题，利用对称性与对角结构。
• 利用非负矩阵与不可分解纠缠判据之间的对偶性，刻画DS态中的纠缠特性。
• 应用矩阵理论中的已知结果，证明当 d ≤ 4 时PPT为可分性的必要且充分条件。
• 为 d ≥ 5 构造PPT-纠缠态的解析例子，以证明PPT在高维下并非充分条件。
• 在N粒子量子比特系统中引入一类近似DS态，其在每个划分下均为PPT但仍然纠缠，从而挑战PPT在多体系统中的充分性。
• 基于优化方法，推导出双粒子DS态超越PPT判据的新可分性充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对角对称态在 $C^d \otimes C^d$ 中的可分性问题是否为NP难？是否可重新表述为二次锥优化问题？
• RQ2 在哪些维度 d 下，PPT判据对DS态的可分性是必要且充分的？
• RQ3 能否为 d ≥ 5 构造出PPT-纠缠态的解析例子，以证明PPT判据的局限性？
• RQ4 能否为双粒子DS态推导出超越PPT判据的新可分性充分条件？
• RQ5 是否存在N粒子DS量子比特态，其在每个划分下均为PPT但仍然纠缠，表明PPT在多体系统中不再充分？

主要发现

• 对角对称态在 $C^d \otimes C^d$ 中的可分性问题是NP难的，因为其可被重新表述为二次锥优化问题。
• 当 $d \leq 4$ 时，部分转置正定性（PPT）是DS态可分性的必要且充分条件。
• 当 $d \geq 5$ 时，本文提供了PPT-纠缠态的解析例子，证明PPT在高维下并非充分条件。
• 本文为双粒子DS态提出了超越PPT判据的新可分性充分条件，增强了对可分态的检测能力。
• 在N粒子DS量子比特情形下，本文识别出一类在每个划分下均为PPT但仍然纠缠的近似DS态，表明PPT在多体系统中不再充分。
• 非负矩阵被证明与DS态的不可分解纠缠判据一一对应，从而将量子纠缠与矩阵理论中的高级概念联系起来。