[论文解读] Separable Decomposition and Quantum Correlations in Toeplitz Matrices

Marek Mozrzymas, A. Rutkowski+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Matrix Theory and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文证明了具有可交换且正规的 $d \times d$ 块的分块托普利茨矩阵的可分性等价于半正定性，提供了长度等于分块矩阵维数的可分性分解——短于卡塔内奥里定理的界。该分解仅依赖于第一张量因子中块矩阵的特征值及其在第二张量因子中的特征向量，且整个矩阵的半正定性等价于 $d$ 个更小的 $n \times n$ 矩阵的半正定性。

ABSTRACT

It is shown that, for the block matrices belonging to $M(nd,\mathbb{C})$ with commuting and normal block entries of dimension $d$, the separability of such a block matrices is equivalent to its semi-positive definity. The separability decomposition of lenght equal to the dimension of the block matrix (which is smaller then Caratheodory theorem implies) is given. The separability decomposition depends only on eigenvalues of block entries in the first part and on eigenvectors of the block entries in the second part of the tensor product. It is shown that semi-positive definity of considered block matrices is equivalent to semi-positive definity $d$ smaller matrices of dimension $n$.

研究动机与目标

• 确定具有可交换且正规块的分块托普利茨矩阵可分的条件。
• 为这类矩阵构造最小长度的可分性分解。
• 证明整个矩阵的半正定性等价于由块结构导出的 $d$ 个更小的 $n \times n$ 矩阵的半正定性。
• 表征分解对块矩阵特征值和特征向量的依赖关系。

提出的方法

• 分析 $M(nd,\mathbb{C})$ 中具有可交换且正规的 $d \times d$ 块的分块矩阵。
• 利用块矩阵的谱分解，将整个矩阵表示为特征值和特征向量的形式。
• 建立可分性与整个矩阵半正定性之间的等价关系。
• 将问题简化为检查由块结构导出的 $d$ 个更小的 $n \times n$ 矩阵的半正定性。
• 推导出长度等于分块矩阵维数的可分性分解，短于卡塔内奥里定理所暗示的界。
• 证明分解仅依赖于第一张量因子中块矩阵的特征值和第二张量因子中对应的特征向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有可交换且正规的 $d \times d$ 块的分块托普利茨矩阵在何种条件下是可分的？
• RQ2 能否为这类矩阵构造长度等于分块矩阵维数的可分性分解？
• RQ3 整个矩阵的半正定性是否等价于由块结构导出的 $d$ 个更小的 $n \times n$ 矩阵的半正定性？
• RQ4 块矩阵的特征值和特征向量如何影响可分性分解？

主要发现

• 分块托普利茨矩阵的可分性等价于其半正定性。
• 构造了长度等于分块矩阵维数的可分性分解，该长度短于卡塔内奥里定理所给出的界。
• 该分解仅依赖于第一张量因子中块矩阵的特征值及其在第二张量因子中的对应特征向量。
• 整个矩阵的半正定性等价于由块结构导出的 $d$ 个更小的 $n \times n$ 矩阵的半正定性。
• 该方法提供了一种构造性且高效的方法，通过块矩阵的谱性质验证可分性。
• 该结果推广了结构化量子关联矩阵中矩阵正定性与可分性之间的联系。