[论文解读] Separable rational connectedness and weak approximation in positive characteristic

Jason Starr, Zhiyu Tian|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文在正特征下，为Picard数为1的光滑射影概形建立了分离有理连通性的上同调准则：一个概形是分离有理连通的，当且仅当其Hodge上同调群 $ H^0(X, \Omega^i_X) $ 对所有 $ i = 1, \dots, \dim X $ 都为零。该结果被应用于在有利的特征与次数条件下证明Fano完全交的弱逼近性。

ABSTRACT

In this short note we give a characterization of smooth projective varieties of Picard number one that are separably uniruled but not separably rationally connected. We also give a sufficient condition involving the torsion order and the uniruling index for a smooth Fano variety of Picard number one to be separably rationally connected. As an application, we prove some weak approximation results for Fano complete intersections in positive charactersitic. For example, we show that weak approximation holds at place of strong potentially good reduction for a Fano complete intersection in $\mathbb{P}^n$ of type $(d_1, \ldots, d_c)$ in characteristic $p$ such that $n>d_1+\ldots +d_c, p>d_1, \ldots, d_c.$

研究动机与目标

• 刻画Picard数为1但非分离有理连通的光滑射影概形的分离无迹性。
• 通过挠序与无迹指标，为Picard数为1的Fano概形建立分离有理连通性的充分条件。
• 在次数与特征约束下，证明正特征下Fano完全交的弱逼近性结果。
• 推广并改进[ Tia15 ]与[ STZ18 ]中关于分离有理连通性与弱逼近性的先前结果。

提出的方法

• 使用 $ r $-无迹的概念，并将 $ r $-无迹指标定义为泛有限 $ r $-重纤维积态射的次数的最大公因数。
• 通过纤维积上的分离性求值态射，应用分离无迹与分离有理连通性的概念。
• 将 $ H^0(X, \Omega^i_X) $ 对所有 $ i = 1, \dots, \dim X $ 的消失作为分离有理连通性的关键上同调准则。
• 利用自由有理曲线及其在余切丛上的拉回，定义子层 $ \mathcal{D} \subset \Omega_X $。
• 使用反射层 $ (\Lambda^{n-r}\mathcal{D})^{**} $ 及其因Picard数为1与次数为零而带来的平凡性，构造 $ \Omega^{n-r}_X $ 的全局截面。
• 应用[ CL16 ]中关于挠序与无迹指标的结果，推导出关于DVR上中心纤维的分离有理连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个正特征代数闭域上Picard数为1但非分离有理连通的光滑射影概形是分离无迹的？
• RQ2 在正特征下，保证分离有理连通性的精确上同调准则是什么？
• RQ3 挠序与无迹指标如何决定Picard数为1的Fano概形的分离有理连通性？
• RQ4 在次数与特征有界条件下，Fano完全交在正特征下是否满足弱逼近性？
• RQ5 能否通过中心纤维的新准则，放宽弱逼近定理中关于（强）潜在良好约化假设的限制？

主要发现

• 在代数闭域上，若光滑射影概形 $ X $ 的Picard数为1且特征为正，则其为分离有理连通的，当且仅当对所有 $ i = 1, \dots, \dim X $，有 $ H^0(X, \Omega^i_X) = 0 $。
• 对于类型为 $ (d_1, \dots, d_c) $ 的 $ \mathbb{P}^n $ 中的Fano完全交 $ X \subset \mathbb{P}^n $，若 $ n > \sum d_i $ 且 $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $，则其在剩余特征为 $ p $ 的DVR上的中心纤维是分离有理连通的。
• 此类完全交的无迹指标整除 $ \prod_{i=1}^c (d_i!) $，且其挠序也整除该乘积。
• 对于Fano指标 $ \geq 2 $ 的 $ \mathbb{P}^n $ 中光滑完全交族，若 $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $，则在所有（强）潜在良好约化位置上，弱逼近性成立。
• 弱逼近性证明依赖于中心纤维的分离有理连通性，而该结论由推论9推出，因此通过放宽约化假设，改进了[ STZ18, 定理1.1 ]。
• 对于齐性空间中的完全交，给出了基于Fano指标与自由有理曲线交数阶乘积的显式分离有理连通性准则，且在特征有界条件下成立。