[论文解读] Separate, Measure and Conquer: Faster Algorithms for Max 2-CSP and Counting Dominating Sets

Serge Gaspers, Gregory B. Sorkin|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 56被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法框架——'Separate, Measure and Conquer'，通过将图分隔符与Measure and Conquer分析相结合，实现了Max 2-CSP和#Dominating Set问题的更快多项式空间算法。该方法利用稀疏图中（特别是立方图中）的小型平衡分隔符，将实例分解为独立的子问题，通过分支收益的摊销分析，实现了更优的最坏情况时间复杂度。

ABSTRACT

We show a method resulting in the improvement of several polynomial-space, exponential-time algorithms. An instance of the problem Max (r,2)-CSP, or simply Max 2-CSP, is parametrized by the domain size r (often 2), the number of variables n (vertices in the constraint graph G), and the number of constraints m (edges in G). When G is cubic, and omitting sub-exponential terms here for clarity, we give an algorithm running in time r^((1/5)n) = r^((2/15)m); the previous best was r^((1/4)n) = r^((1/6)m). By known results, this improvement for the cubic case results in an algorithm running in time r^((9/50)m) for general instances; the previous best was r^((19/100)m). We show that the analysis of the earlier algorithm was tight: our improvement is in the algorithm, not just the analysis. The new algorithm, like the old, extends to Polynomial and Ring CSP. We also give faster algorithms for #Dominating Set, counting the dominating sets of every cardinality 0,...,n for a graph G of order n. For cubic graphs, our algorithm runs in time 3^((1/6)n); the previous best was 2^((1/2)n). For general graphs, we give an unrelated algorithm running in time 1.5183^n; the previous best was 1.5673^n. The previous best algorithms for these problems all used local transformations and were analyzed by the "Measure and Conquer" method. Our new algorithms capitalize on the existence of small balanced separators for cubic graphs - a non-local property - and the ability to tailor the local algorithms always to "pivot" on a vertex in the separator. The new algorithms perform much as the old ones until the separator is empty, at which point they gain because the remaining vertices are split into two independent problem instances that can be solved recursively. It is likely that such algorithms can be effective for other problems too, and we present their design and analysis in a general framework.

研究动机与目标

• 通过利用稀疏图的结构性质，开发Max 2-CSP和#Dominating Set问题的更快多项式空间指数时间算法。
• 通过将全局图结构（特别是小型平衡分隔符）整合到分支过程中，克服先前Measure and Conquer分析的局限性。
• 在不依赖指数空间的前提下，实现更优的最坏情况时间复杂度，与基于树分解的动态规划形成对比。
• 通过证明先前界值的紧致性，表明改进源于算法设计本身，而非分析技术的优化。
• 建立一个适用于其他具有有界度数或低树宽结构问题的一般性框架。

提出的方法

• 在Measure and Conquer框架中引入一种新度量，以反映通过分隔符将实例分解为独立子问题所带来的全局效应。
• 利用小型平衡分隔符（例如，立方图中大小约为~n/6）在局部分支后将图划分为独立组件。
• 调整分支决策，以分隔符内的顶点为支点，维持效率直至分解完成。
• 将解决独立子问题所获得的计算收益在先前线性数量级的分支步骤中进行摊销。
• 将基于分隔符的分解整合到标准Measure and Conquer分析中，以更精确地估计时间复杂度界。
• 将该方法应用于Max 2-CSP和#Dominating Set问题，利用关于立方图和一般图中分隔符的已知结构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分支算法中使用小型平衡分隔符，是否能为Max 2-CSP问题带来可证明更快的多项式空间算法？
• RQ2 通过引入如分隔符等全局结构性质，Measure and Conquer方法能在多大程度上得到增强？
• RQ3 运行时间的改进是源于算法创新，还是仅仅是对现有算法的更紧致分析？
• RQ4 该方法能否推广至其他具有有界度数或低树宽实例的NP难问题？
• RQ5 与基于树分解的指数空间动态规划相比，该方法存在哪些局限性？

主要发现

• 对于立方图上的Max 2-CSP，算法时间复杂度为 $ r^{(1/5)n} = r^{(2/15)m} $，优于先前的 $ r^{(1/4)n} = r^{(1/6)m} $。
• 对于一般Max 2-CSP实例，改进后的界为 $ r^{(9/50)m} $，相较先前的 $ r^{(19/100)m} $，且改进源于算法设计而非分析优化。
• 相同的时间复杂度改进也适用于Max Cut、Polynomial CSP和Ring CSP作为特例。
• 对于立方图上的#Dominating Set，算法运行时间复杂度为 $ 3^{(1/5)n} $，优于先前的 $ 2^{(1/2)n} $。
• 对于一般图，#Dominating Set的新算法运行时间复杂度为 $ 1.5183^n $，优于先前的 $ 1.5673^n $。
• 分析表明，先前算法的界是紧致的，从而证实改进源于算法设计，而非分析技术的提升。