[论文解读] Separately subharmonic functions

Juhani Riihentaus|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2006

Holomorphic and Operator Theory被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了拟几乎次调和函数这一广义类，其包含拟次调和、几乎次调和及近乎次调和函数。文章建立了关于分别拟几乎次调和函数的新次调和性结果，并改进了 Arsove 与 Kolodziej-Thorbiornson 关于函数在一变量次调和、在另一变量调和时的次调和性结果。

ABSTRACT

First, we give the definition for quasi-nearly subharmonic functions, now for general, not necessarily nonnegative functions, unlike previously. We point out that our function class incudes, among others, quasisubharmonic functions, nearly subharmonic functions (in a slightly generalized sense) and almost subharmonic functions. We also give some basic properties of quasi-nearly subharmonic functions. Second, after recalling some of the existing subharmonicity results of separately subharmonic functions, we give the corresponding counterparts for separately quasi-nearly subharmonic functions, thus improving previous results of ours, of Lelong, of Avanissian and of Arsove. Third, we give two results concerning the subharmonicity of a function subharmonic with respect to the first variable and harmonic with respect to the second variable. The first result improves a result of Arsove, concerning the case when the function has, in addition, locally a negative integrable minorant. The second result improves a result of Kolodziej and Thorbiornson concerning the subharmonicity of a function subharmonic and ${\mathcal{C}}^2$ in the first variable and harmonic in the second.

研究动机与目标

• 定义并分析一类新函数——拟几乎次调和函数，其推广了拟次调和、几乎次调和等先前概念。
• 将现有关于分别次调和函数的次调和性结果推广至更广泛的分别拟几乎次调和函数类。
• 在更弱的可积性或光滑性假设下，改进先前关于在一变量次调和、在另一变量调和的函数整体次调和性的结果。
• 建立函数在一变量次调和、在另一变量调和时整体保持次调和性的条件。

提出的方法

• 将拟几乎次调和函数类定义为非负几乎次调和函数类的推广，以包含一般函数（不一定是非负的）。
• 利用积分平均不等式与次调和函数的性质，推导该新函数类的基本结构性质。
• 应用关于分别次调和函数的已知结果，并通过测度论与位势论方法将其推广至拟几乎次调和情形。
• 采用下界函数与局部可积性的概念，强化 Arsove 关于具有负局部可积下界函数的次调和性结果。
• 利用第一变量的 C² 正则性与第二变量的调和性，通过微分算子与次调和性判别准则，改进 Kolodziej 与 Thorbiornson 的结果。
• 运用位势论中的比较原理与最大值原理，验证复合函数的次调和性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几乎次调和函数的概念推广至包含非正函数，同时保持其有用的分析性质？
• RQ2 分别拟几乎次调和函数整体次调和的必要与充分条件是什么？
• RQ3 在何种条件下，一变量次调和、另一变量调和的函数可保证整体次调和？
• RQ4 在分别次调和性背景下，如何改进 Arsove 关于具有负局部可积下界的函数的结论？
• RQ5 当函数在第二变量调和时，第一变量的 C² 正则性在何种程度上加强了次调和性结论？

主要发现

• 拟几乎次调和函数类严格包含拟次调和函数、广义意义下的几乎次调和函数以及几乎次调和函数。
• 本文证明，在较弱的积分与可测性条件下，分别拟几乎次调和函数是整体次调和的。
• 提出一新结果，通过将下界函数从局部可积放宽为更一般的拟几乎次调和下界，改进了 Arsove 定理。
• 本文证明：若函数在第一变量次调和、在第二变量调和，且在第一变量具有 C² 正则性，则其整体次调和。
• 将 Kolodziej 与 Thorbiornson 的改进结果进一步拓展，表明第一变量的 C² 正则性与第二变量的调和性可直接推出次调和性，无需额外假设。
• 结果表明，通过拟几乎次调和函数框架，可系统分析不同变量间次调和性与调和性之间的相互作用。