[论文解读] Separating Models by Formulas and the Number of Countable Models

Mohammad Assem|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用 $L_{\omega_1\omega}$ 的可数片段中的公式，研究了模型论中可数模型的分离性，证明若一阶理论存在 uncountable 家族的两两可分可数模型，则其必有 $2^{\aleph_0}$ 个非同构的可数模型。关键贡献在于通过 Borel 等价关系与波兰空间中结构的基数比较，对模型可区分性进行了拓扑与逻辑刻画。

ABSTRACT

We indicate a way of distinguishing between structures, for which, two structures are said to be separable.Being separable implies being non-isomorphic. We show that for any first order theory $T$ in a countable language, if it has an uncountable set of countable models that are pairwise separable, then actually it has such a set of size $2^{\aleph_0}$. Our result follows trivially assuming the Continuum Hypothesis ($CH$). We work here in $ZFC$ (only without $CH$).

研究动机与目标

• 使用 $L_{\omega_1\omega}$ 的可数片段中的公式，形式化模型可分性的概念。
• 分析在由此类片段诱导的波兰拓扑下，可数无限 $L$-结构空间 $X_L$ 的拓扑结构。
• 通过其可定义集的基数差异，刻画两个结构非同构的条件。
• 证明在片段 $F$ 中，不可区分性等价关系 $E_F$ 在乘积拓扑中是 Borel 可测的。
• 证明若存在不可数对的可分模型家族，则必存在 $2^{\aleph_0}$ 个非同构的可数模型。

提出的方法

• 定义 $X_L = \prod_{i \in I} 2^{(\mathbb{N}^{n_i})}$ 为所有关于可数关系语言 $L$ 的可数无限 $L$-结构的集合。
• 引入 $L_{\omega_1\omega}$ 的一个片段 $F$，其对子公式、否定、量词及有限合取/析取封闭。
• 定义 $Mod(\varphi, \bar{s})$ 为 $X_L$ 中满足给定自然数元组 $\bar{s}$ 的公式 $\varphi$ 的结构集合。
• 赋予 $X_L$ 由基本开集 $Mod(\varphi, \bar{s})$ 生成的拓扑 $t_F$，并证明该拓扑为波兰拓扑。
• 构造双射 $\mu_\varphi: \mathbb{N} \to {}^{|\Delta\varphi|}\omega$，以编码有限与无限元组集合，用于基数比较。
• 利用这些双射，通过单射函数与原像条件表达可定义集基数相等性，从而实现对 $E_F$ 的 Borel 刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可使用 $L_{\omega_1\omega}$ 的可数片段中的公式来区分两个可数模型？
• RQ2 在片段 $F$ 中，不可区分性等价关系 $E_F$ 是否在波兰拓扑 $t_F$ 中 Borel 可测？
• RQ3 存在不可数多对可分模型与可数模型总数之间非同构模型的总数之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过逻辑公式利用可定义集的基数来刻画同构类型？
• RQ5 在 $t_F$ 拓扑下，$X_L$ 的拓扑结构如何反映同构性与可分性等模型论性质？

主要发现

• 在 $L_{\omega_1\omega}$ 的可数片段 $F$ 中，不可区分性等价关系 $E_F$ 在乘积拓扑 $(X_L, t_F) \times (X_L, t_F)$ 中是 Borel 可测的。
• 若存在公式 $\varphi \in F$，使得两结构的 $\varphi$-可定义集的基数不同，则这两结构在 $F$ 中可分。
• 对于任意非句子的公式 $\varphi$，其可定义集的基数可通过所选双射 $\mu_\varphi$ 在 $\mathbb{N}$ 上的单射函数来刻画。
• 条件 $|X| = |Y| \in \omega$ 逻辑等价于存在单射函数 $f, g$，使得 $f^*(g^{-1}(Y)) = X$ 且 $g^*(f^{-1}(X)) = Y$，该条件可 Borel 方式表达。
• 若一阶理论 $T$ 在 $L_{\omega_1\omega}$ 的任意可数片段中存在不可数对可分的可数模型家族，则其必有 $2^{\aleph_0}$ 个非同构的可数模型。
• 即使该模型集合在 $X_L$ 中为 $G_{\delta}$ 型，该结果依然成立，表明在拓扑约束下基数结论具有鲁棒性。