[论文解读] Separating regular languages by piecewise testable and unambiguous languages

Thomas Place, Lorijn van Rooijen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

semigroups and automata theory参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于判断两个正则语言是否可被一个逐段可测试语言分离，该算法基于饱和构造，并对子词大小给出了可计算的界。此外，还提供了针对无歧义语言分离的 3-Nexptime 算法，提供了构造性分离器，并对其复杂度给出了紧致界。

ABSTRACT

Separation is a classical problem asking whether, given two sets belonging to some class, it is possible to separate them by a set from a smaller class. We discuss the separation problem for regular languages. We give a Ptime algorithm to check whether two given regular languages are separable by a piecewise testable language, that is, whether a $BΣ1(

研究动机与目标

• 解决两个正则语言是否可被逐段可测试语言分离的判定问题。
• 提供一种构造性方法，当分离器存在时，通过使用合适的同余关系进行饱和来生成分离器。
• 将该方法扩展至无歧义语言，建立可判定性与复杂度界。
• 针对语法幺半群与字母表大小，提供分离器大小的紧致界。
• 为形式语言理论中的分离问题建立一般性框架。

提出的方法

• 利用每个输入语言的语法幺半群，推导出逐段可测试分离的子词大小界。
• 基于大小不超过 κ 的子词模式，定义一个同余关系 ≅κ，其中 κ 是幺半群大小与字母表的可计算函数。
• 证明：若两个语言可被某个逐段可测试语言分离，则它们也可被属于 BΣ₁(<) 类（子词大小有界）的语言分离。
• 通过 (B,p)-模式应用类似泵送的性质，证明：若在层级 κ 处无分离器，则在任何更高层级也不存在分离器。
• 对于无歧义语言，基于幺半群大小与字母表，定义类似的界 κ，使用无歧义积的布尔组合。
• 通过归约为基于自动机的推理与非确定性 3-指数时间，界定无歧义分离的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在多项式时间内判定两个正则语言是否可被逐段可测试语言分离？
• RQ2 若存在分离器，其最小大小是多少，且能否有效构造？
• RQ3 两个正则语言是否可被无歧义语言分离是可判定的吗？该问题的复杂度如何？
• RQ4 我们能否针对逐段可测试语言与无歧义语言，基于语法幺半群与字母表大小，对分离器大小进行界定？
• RQ5 是否存在一个统一形式语言理论中分离问题的一般性框架，以整合不同子类的处理方法？

主要发现

• 存在一个多项式时间算法，可判定两个正则语言是否可被逐段可测试语言分离。
• 该算法基于检测输入 NFA 中的禁止模式；若无此类模式，则保证可分离。
• 当可分离性成立时，可通过将一个语言对某个同余关系进行饱和来构造分离器，该同余关系的指数由幺半群大小与字母表的函数有界。
• 对于无歧义语言，该问题在 3-Nexptime 内可判定，且所需无歧义积大小的界为 κ = (2|M₁||M₂| + 1)(|A| + 1)²。
• 该界 κ 确保：若在层级 κ 处无分离器，则在任何更高层级也不存在分离器，这是由于类似泵送的性质。
• 结果可推广至 FO²(<)-可定义语言，表明分离器存在当且仅当存在一个量化等级被 κ 有界的分离器。