[论文解读] Separation-Sensitive Collision Detection for Convex Objects

Jeff Erickson, Leonidas Guibas+2 more|ArXiv.org|Sep 18, 1998

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 20被引用 37

一句话总结

本文提出了一种针对移动凸多面体之间碰撞检测的分离敏感型动力学数据结构（KDS），利用分层包络结构维护随物体间距离自适应变化的分离证书。该方法在直线运动或凸运动下实现 $O(\log(D/s))$ 次证书更新，在代数平移下为 $O(\sqrt{D/s})$，在刚体运动下为 $O(D/s)$，更新时间呈多对数复杂度，并引入滞后性以减少事件频率。

ABSTRACT

We develop a class of new kinetic data structures for collision detection between moving convex polytopes; the performance of these structures is sensitive to the separation of the polytopes during their motion. For two convex polygons in the plane, let $D$ be the maximum diameter of the polygons, and let $s$ be the minimum distance between them during their motion. Our separation certificate changes $O(\log(D/s))$ times when the relative motion of the two polygons is a translation along a straight line or convex curve, $O(\sqrt{D/s})$ for translation along an algebraic trajectory, and $O(D/s)$ for algebraic rigid motion (translation and rotation). Each certificate update is performed in $O(\log(D/s))$ time. Variants of these data structures are also shown that exhibit \emph{hysteresis}---after a separation certificate fails, the new certificate cannot fail again until the objects have moved by some constant fraction of their current separation. We can then bound the number of events by the combinatorial size of a certain cover of the motion path by balls.

研究动机与目标

• 通过引入分离敏感性，解决传统碰撞检测在凸多面体相距较远时效率低下的问题。
• 设计一种根据移动凸多面体间最小距离 $s$ 自适应调整事件频率的动力学数据结构（KDS）。
• 通过最小化证书更新次数并利用时间相干性，确保KDS具有紧凑性、响应性、局部性和高效性。
• 引入滞后性以防止分离证书反复失效，确保物体必须显著移动后才会触发新事件。
• 将该方法推广至支持平移与旋转滞后性，提升复杂运动路径下的性能表现。

提出的方法

• 在凸多边形周围构建膨胀的分层包络结构（如罗盘型或杜德利型），以维护分离证书。
• 在层次结构的各层之间使用顶点-边或顶点-顶点分离证书，并仅在发生失效时更新。
• 采用惰性计算策略：证书仅在检测到失效时才更新，从而减少不必要的计算。
• 通过要求物体发生 $\Omega(d(P,Q))$ 的最小位移或旋转后，新事件才能触发，实现滞后性。
• 定义运动路径的 $\kappa$-清晰分解，利用几何覆盖论证方法控制事件数量。
• 利用运动路径的组合结构与分离距离的关系，推导不同运动类型下的事件数量边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使凸多面体碰撞检测的动力学数据结构对物体间实际分离距离敏感？
• RQ2 在分离敏感型KDS下，不同运动类型（平移、代数运动、刚体运动）的证书更新最坏情况次数是多少？
• RQ3 是否可以将滞后性集成到KDS中，以减少事件数量同时保持正确性？
• RQ4 分层包络结构的选择（罗盘型 vs. 杜德利型）如何影响事件数量与更新时间之间的权衡？
• RQ5 能否实现旋转滞后性？其成立需要满足什么条件？

主要发现

• 对于运动中的两个凸多边形，证书更新次数在直线或凸平移下为 $O(\log(D/s))$，在代数平移下为 $O(\sqrt{D/s})$，在代数刚体运动下为 $O(D/s)$。
• 每次证书更新耗时 $O\left(\log(D/s)\right)$，即使在大距离下也能保持高响应性。
• 实现了滞后性，使得证书失效后，下一次事件无法发生，直到物体移动了 $\Omega(d(P,Q)/\beta)$ 的距离，其中 $\beta \approx 4.8284$。
• 事件数量受运动路径 $\kappa$-清晰分解大小的限制，罗盘层次结构下 $\kappa \approx 10.6569$。
• 使用杜德利层次结构可减少事件数量，但会增加更新时间与 $\beta$ 值；通过调整膨胀方式，可使 $\beta$ 任意接近1。
• 旋转滞后性仅在罗盘层次结构中实现，需对外角施加下界限制，并通过三维配置空间中 $\kappa$-清晰分解的大小来控制事件数量。