[论文解读] Separations in Proof Complexity and TFNP

Mika Göös, Alexandros Hollender+5 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

该论文通过证明当系数受限于一元表示时，Resolution无法被Sherali–Adams高效模拟，且Reversible Resolution无法被Nullstellensatz高效模拟，从而在证明复杂性中建立了基本的分离。这些结果在TFNP中产生了新的预言机分离，完整补全了1990年代所确立的所有经典TFNP类之间的黑箱关系图谱。

ABSTRACT

It is well-known that Resolution proofs can be efficiently simulated by Sherali-Adams (SA) proofs. We show, however, that any such simulation needs to exploit huge coefficients: Resolution cannot be efficiently simulated by SA when the coefficients are written in unary. We also show that Reversible Resolution (a variant of MaxSAT Resolution) cannot be efficiently simulated by Nullstellensatz (NS). These results have consequences for total NP search problems. First, we characterise the classes PPADS, PPAD, SOPL by unary-SA, unary-NS, and Reversible Resolution, respectively. Second, we show that, relative to an oracle, PLS $ ot\subseteq$ PPP, SOPL $ ot\subseteq$ PPA, and EOPL $ ot\subseteq$ UEOPL. In particular, together with prior work, this gives a complete picture of the black-box relationships between all classical TFNP classes introduced in the 1990s.

研究动机与目标

• 建立命题证明系统之间，特别是Resolution与Sherali–Adams之间的紧致分离。
• 分析半代数证明系统（如SA和NS）中系数大小的作用。
• 将证明复杂性分离与整体NP搜索问题（TFNP）的结构联系起来。
• 通过受限证明系统（如一元-SA、一元-NS和Reversible Resolution）对TFNP类进行表征。
• 利用预言机分离，解决所有经典TFNP类之间完整的黑箱关系层级结构。

提出的方法

• 证明常宽Resolution公式在任何低次SA refutation中，即使使用整数系数，也要求指数级大小的系数。
• 使用提升/xorification技术，展示SA证明中单项数与系数大小之间的权衡。
• 应用交集定理，通过黑箱模拟将证明复杂性系统与TFNP类关联起来。
• 采用线性代数技术与Hermite标准型，界定Nullstellensatz和Sherali–Adams证明中整数系数的大小。
• 通过利用证明复杂性下界，构建预言机分离，证明PLS ⊄ PPP、SOPL ⊄ PPA和EOPL ⊄ UEOPL。
• 将证明存在性约化为具有有界系数的线性方程组，利用已知的整数解算法求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数受限于一元表示时，Resolution能否被Sherali–Adams高效模拟？
• RQ2 SA模拟常宽公式上Resolution所需的最小系数大小是多少？
• RQ3 在标准证明复杂性意义下，Reversible Resolution能否被Nullstellensatz p-模拟？
• RQ4 经典TFNP类（如PLS、PPAD、SOPL和EOPL）之间的黑箱关系是什么？
• RQ5 证明复杂性分离能否用于建立TFNP中的预言机分离？

主要发现

• 存在n元CNF公式，其可由常宽Resolution证明，但在任何低次证明中，SA反驳必须使用大小为exp(nΩ(1))的系数。
• 此类公式的任何SA反驳要么使用指数级多项式数，要么使用指数级大系数，从而建立了紧致的权衡关系。
• Reversible Resolution无法被Nullstellensatz p-模拟，这一结论由证明复杂性中的分离结果证实。
• 本文建立了预言机分离：PLS ⊄ PPP、SOPL ⊄ PPA和EOPL ⊄ UEOPL，完整补全了TFNP类的黑箱层级结构。
• 作者提供了显式的系数界：对于度数d的unsatisfiable CNF公式，整数SA和NS证明的系数被限制在exp(nO(d))以内。
• 结果通过受限证明系统表征了TFNP类：PPADS = 一元-SA，SOPL = Reversible Resolution，PPAD = 一元-NS。