[论文解读] Separator Theorem and Algorithms for Planar Hyperbolic Graphs

‪Sándor Kisfaludi-Bak, Jana Masaříková+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对平面δ-双曲图的新颖平衡分离定理，证明可在近乎线性时间内找到大小为poly(δ) · log n的分离器，且该分离器诱导出一条测地线路径或环。当与各连通分量结合时，该分离器保持图的平面性与δ-双曲性，从而实现了最大独立集与TSP问题的近乎线性时间FPTAS，且在ETH下具有紧致的运行时间下界。

ABSTRACT

The hyperbolicity of a graph, informally, measures how close a graph is (metrically) to a tree. Hence, it is intuitively similar to treewidth, but the measures are formally incomparable. Motivated by the broad study of algorithms and separators on planar graphs and their relation to treewidth, we initiate the study of planar graphs of bounded hyperbolicity. Our main technical contribution is a novel balanced separator theorem for planar $δ$-hyperbolic graphs that is substantially stronger than the classic planar separator theorem. For any fixed $δ\geq 0$, we can find balanced separator that induces either a single geodesic (shortest) path or a single geodesic cycle in the graph. An important advantage of our separator is that the union of our separator (vertex set $Z$) with any subset of the connected components of $G - Z$ induces again a planar $δ$-hyperbolic graph, which would not be guaranteed with an arbitrary separator. Our construction runs in near-linear time and guarantees that size of separator is $\mathrm{poly}(δ) \cdot \log n$. As an application of our separator theorem and its strong properties, we obtain two novel approximation schemes on planar $δ$-hyperbolic graphs. We prove that Maximum Independent Set and the Traveling Salesperson problem have a near-linear time FPTAS for any constant $δ$, running in $n\, \mathrm{polylog}(n) \cdot 2^{\mathcal{O}(δ^2)} \cdot \varepsilon^{-\mathcal{O}(δ)}$ time. We also show that our approximation scheme for Maximum Independent Set has essentially the best possible running time under the Exponential Time Hypothesis (ETH). This immediately follows from our third contribution: we prove that Maximum Independent Set has no $n^{o(δ)}$-time algorithm on planar $δ$-hyperbolic graphs, unless ETH fails.

研究动机与目标

• 为平面δ-双曲图设计一种保持平面性与δ-双曲性等结构特性的分离定理。
• 为该类图上的NP难问题设计高效的近似算法。
• 在指数时间假设（ETH）下，为最大独立集等基础问题建立紧致的条件性下界。
• 探索TSP、顶点覆盖与反馈顶点集等问题在平面δ-双曲图上的算法可解性。

提出的方法

• 提出一种针对平面δ-双曲图的新平衡分离定理，其中分离器诱导出一条测地线路径或环。
• 设计一种近乎线性时间的算法以计算该分离器，其大小受poly(δ) · log n的限制。
• 证明将分离器与G−Z的任意子集连通分量结合后，仍保持图的平面性与δ-双曲性。
• 应用该分离器，通过分治策略设计最大独立集的递归近似方案。
• 通过利用相同的分离器结构，实现旅行商问题的近乎线性时间FPTAS。
• 通过构造一种归约，将网格细分嵌入δ-双曲图中而不改变其双曲性，从而证明基于ETH的紧致下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在平面δ-双曲图中构造出一种平衡分离器，使其与任意连通分量结合后仍保持δ-双曲性与平面性？
• RQ2 对于任意常数δ，是否存在一种近乎线性时间的FPTAS来求解平面δ-双曲图上的最大独立集问题？
• RQ3 最大独立集问题的FPTAS运行时间是否在ETH下达到最优？
• RQ4 是否可为顶点覆盖与反馈顶点集等问题在该图类上设计类似的近似方案？
• RQ5 是否存在子二次或线性时间算法来计算平面图的双曲性？

主要发现

• 可在近乎线性时间内计算出大小为O(poly(δ) · log n)的平衡分离器，且其诱导出一条测地线路径或环。
• 当与任意分量集合结合时，该分离器保持图的δ-双曲性与平面性，这一性质在标准分离器中无法保证。
• 实现了最大独立集的近乎线性时间FPTAS，运行时间为n polylog(n) · 2O(δ²) · ε−O(δ)。
• 在ETH下，该FPTAS的运行时间本质上是最优的，因为除非ETH不成立，否则不存在o(n)-时间算法。
• 为旅行商问题构造了类似的FPTAS，且运行时间界限相同。
• 论文证明，在ETH下，平面δ-双曲图上的最大独立集无法在no(δ)时间内求解，从而建立了紧致的条件性下界。