[论文解读] Sequence-covering maps on generalized metric spaces

Fucai Lin, Shou Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文针对广义度量空间上序列覆盖映射的三个开放问题提供了肯定回答，特别是证明了当定义域具有点可数基或为可展开空间时，序列覆盖映射与边界紧致映射是1-序列覆盖的。此外，本文进一步证明了开映射与闭映射保持强单调次序性，且闭序列覆盖映射保持具有σ-点离散k-网络的空间，从而推进了[13]、[16]和[28]中的先前结果。

ABSTRACT

Let $f:X ightarrow Y$ be a map. $f$ is a {\it sequence-covering map}\cite{Si1} if whenever $\{y_{n}\}$ is a convergent sequence in $Y$ there is a convergent sequence $\{x_{n}\}$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$; $f$ is an {\it 1-sequence-covering map}\cite{Ls2} if for each $y\in Y$ there is $x\in f^{-1}(y)$ such that whenever $\{y_{n}\}$ is a sequence converging to $y$ in $Y$ there is a sequence $\{x_{n}\}$ converging to $x$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$. In this paper, we mainly discuss the sequence-covering maps on generalized metric spaces, and give an affirmative answer for a question in \cite{LL1} and some related questions, which improve some results in \cite{LL1, Ls4, YP}, respectively. Moreover, we also prove that open and closed maps preserve strongly monotonically monolithity, and closed sequence-covering maps preserve spaces with a $σ$-point-discrete $k$-network. Some questions about sequence-covering maps on generalized metric spaces are posed.

研究动机与目标

• 解决[13]中提出的开放问题：当定义域具有点可数基或为可展开空间时，序列覆盖映射与边界紧致映射是否必为1-序列覆盖映射。
• 通过证明在类似定义域条件下，序列商映射与边界紧致映射为伪序列覆盖映射，扩展[13]与[16]的结果。
• 研究当定义域为g-度量空间或具有点可数基时，闭序列覆盖映射是否为1-序列覆盖映射。
• 建立拓扑性质（特别是强单调次序性与σ-点离散k-网络）在开映射与闭映射下的保持性质。
• 提出关于闭映射下σ-点离散k-网络保持性以及广义度量空间中序列覆盖映射行为的新问题。

提出的方法

• 利用σ-点离散k-网络与wcs^*-网络的概念，分析广义度量空间中的收敛性与网络结构。
• 应用超穷归纳法与ℵ₁-紧致空间的性质，证明某些不可数集合族会导致矛盾，从而表明关键子族的可数性。
• 采用外基与弱基的概念，刻画g-度量空间及其网络性质。
• 利用σ-点离散wcs^*-网络与σ-点离散k-网络之间的等价性，将保持结果在不同类之间转移。
• 使用有限子族选择性质（引理5.12）从点离散族中提取有限子覆盖，以确保紧致性与网络的有限性。
• 应用序列覆盖映射与1-序列覆盖映射的定义，构造定义域中映射到陪域中收敛序列的收敛序列，确保合适原像的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若X具有点可数基或为可展开空间，则序列覆盖映射与边界紧致映射f:X→Y是否必为1-序列覆盖映射？
• RQ2 若X具有点可数基或为可展开空间，则序列商映射与边界紧致映射f:X→Y是否为伪序列覆盖映射？
• RQ3 若X为g-度量空间或具有点可数基，则闭序列覆盖映射f:X→Y是否为1-序列覆盖映射？
• RQ4 开映射与闭映射是否在广义度量空间中保持强单调次序性？
• RQ5 闭映射是否保持具有σ-点离散k-网络的空间？

主要发现

• 对[13]中的问题1.1给出了肯定回答：在具有点可数基或可展开空间上，序列覆盖映射与边界紧致映射是1-序列覆盖映射。
• 本文对问题1.2提供了正面解决：在这些空间上，序列商映射与边界紧致映射为伪序列覆盖映射，改进了[13]与[16]中的结果。
• 当X为g-度量空间或具有点可数基时，对问题1.3也获得了肯定回答，表明在这些条件下，闭序列覆盖映射是1-序列覆盖映射。
• 证明了开映射与闭映射在广义度量空间中保持强单调次序性。
• 通过σ-点离散wcs^*-网络与σ-点离散k-网络之间的等价性，证明了闭序列覆盖映射保持具有σ-点离散k-网络的性质。
• 本文通过移除不可数点纤维并添加孤立点，为具有σ-点离散wcs^*-网络的ℵ₁-紧致空间构造了可数网络，证明了所得网络的可数性。