[论文解读] Sequences of formation width $4$ and alternation length $5$

Jesse Geneson, Peter M. Tian|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文确定了所有形成宽度为4且交错长度为5的序列，证明了对于每个此类序列 $ u $，极值函数 $ Ex(u,n) $ 为 $ \Theta(n\alpha(n)) $，其中 $ \alpha(n) $ 是反Ackermann函数。该结果通过形成宽度分析和序列的结构表征，解决了此前未识别的无穷多类模式的极值函数。

ABSTRACT

Sequence pattern avoidance is a central topic in combinatorics. A sequence $s$ contains a sequence $u$ if some subsequence of $s$ can be changed into $u$ by a one-to-one renaming of its letters. If $s$ does not contain $u$, then $s$ avoids $u$. A widely studied extremal function related to pattern avoidance is $Ex(u, n)$, the maximum length of an $n$-letter sequence that avoids $u$ and has every $r$ consecutive letters pairwise distinct, where $r$ is the number of distinct letters in $u$. We bound $Ex(u, n)$ using the formation width function, $fw(u)$, which is the minimum $s$ for which there exists $r$ such that any concatenation of $s$ permutations, each on the same $r$ letters, contains $u$. In particular, we identify every sequence $u$ such that $fw(u)=4$ and $u$ contains $ababa$. The significance of this result lies in its implication that, for every such sequence $u$, we have $Ex(u, n) = Θ(n α(n))$, where $α(n)$ denotes the incredibly slow-growing inverse Ackermann function. We have thus identified the extremal function of many infinite classes of previously unidentified sequences.

研究动机与目标

• 确定所有满足形成宽度 $ fw(u) = 4 $ 且交错长度为5的序列 $ u $。
• 确定此类序列的极值函数 $ Ex(u,n) $。
• 建立 $ Ex(u,n) = \Theta(n\alpha(n)) $ 对所有此类 $ u $ 成立，将其与反Ackermann函数联系起来。
• 通过形成宽度和结构分解，扩展对广义Davenport-Schinzel序列的理解。

提出的方法

• 使用形成宽度函数 $ fw(u) $，其定义为满足每个 $ (r,s) $-构造均包含 $ u $ 的最小 $ s $，对序列进行分类。
• 对以特定字母结尾的序列（例如 $ n $、$ 1 $、$ 2 $）应用归纳性结构分析，以推导出规范形式。
• 利用对 $ F_{r,s}(n) $ 的已知界，特别是 $ F_{r,4}(n) = \Theta(n\alpha(n)) $，推导 $ Ex(u,n) $ 的上界。
• 通过附录中列出的序列验证小规模 $ n $（例如 $ n=6 $）的基例，然后归纳推广至更大的 $ n $。
• 使用删除论证来反驳非规范形式，确保分类的完备性。
• 应用同构性和反转不变性，以减少需分析的不同情形数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些序列 $ u $ 的形成宽度恰好为4且包含交错 $ ababa $？
• RQ2 对于形成宽度 $ fw(u) = 4 $ 且交错长度为5的序列 $ u $，其极值函数 $ Ex(u,n) $ 是什么？
• RQ3 所有此类序列是否可完全按同构和反转关系分类？
• RQ4 是否对所有形成宽度 $ fw(u) = 4 $ 且交错长度为5的序列，均有 $ Ex(u,n) = \Theta(n\alpha(n)) $ 成立？
• RQ5 形成宽度与广义Davenport-Schinzel序列中极值函数增长速率之间有何关系？

主要发现

• 所有形成宽度 $ fw(u) = 4 $ 且包含交错 $ ababa $ 的序列 $ u $，均已按同构和反转关系完全分类。
• 对于每个此类序列 $ u $，其极值函数满足 $ Ex(u,n) = \Theta(n\alpha(n)) $，其中 $ \alpha(n) $ 为反Ackermann函数。
• 该分类包括以 $ n $、$ 1 $ 或 $ 2 $ 结尾的序列，具有特定规范形式，如 $ 1\ldots n1\ldots(n-1)in $、$ 12\ldots n1v1 $ 和 $ 1\ldots n2\ldots n21 $。
• 该结果证实，对于此前未识别的无穷多类模式，$ Ex(u,n) $ 严格受 $ \Theta(n\alpha(n)) $ 限制。
• 证明依赖于归纳性删除论证和结构引理，这些引理基于中间和末尾字母约束字母位置。
• 该工作建立了形成宽度与极值函数增长之间的直接联系，将已知的 $ F_{r,4}(n) = \Theta(n\alpha(n)) $ 边界扩展至特定 $ u $ 的 $ Ex(u,n) $。