[论文解读] Sequential and exact formulae for the subdifferential of nonconvex integral functionals

Rafael Corrêa, Abderrahim Hantoute+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 40被引用 3

一句话总结

本文为非凸积分泛函 $ E_f(x) = \int_T f(t,x)\,d\mu(t) $ 的 Fréchet 与极限次微分建立了序列化且精确的微分规则，其中 $ f $ 是在 $ \sigma $-有限测度空间上取值于可分 Asplund 空间的正规可积函数。通过利用稳健的极小值与变分原理，作者通过 $ f $ 的次微分的可测选择的积分极限，导出了次微分的精确表示，将经典结果推广至无资格条件的非凸情形。

ABSTRACT

This work concerns the study of the subdifferential of the integral functional $$ E_f(x)=\int_{T} f(t,x)dμ(t), $$ where $f$ is a (not necessarily convex) normal integrand, $({T},\mathcal{A},μ)$ is a $σ$-finite measure space, while the decision variables vary in a separable Asplund space. First, using techniques of variational analysis we establish sequential approximate formulae for the Fréchet subdifferential of $E_f$. Secondly, we introduce a Lipschitz-like condition, which allows us to give an upper-estimation for the limiting subdifferential of $E_{f}$ even when this functional is non-Lipschitz.

研究动机与目标

• 为非凸积分泛函 $ E_f(x) = \int_T f(t,x)\,d\mu(t) $ 的 Fréchet 与极限次微分建立序列化且精确的公式。
• 通过变分分析技术，将此前仅适用于凸被积函数的经典次微分计算结果推广至非凸情形。
• 在无需资格条件的前提下，建立 $ E_f $ 的次微分可表示为 $ f $ 的次微分的可测选择的积分极限的条件。
• 通过广义的利普希茨型条件，为极限次微分与 Clarke-Rockafellar 次微分提供上界估计。
• 统一并改进此前 Ioffe [28] 与 Lopez-Thibault [34] 在非凸情形下的结果。

提出的方法

• 将稳健局部极小值的概念（定义 3.1）进行适应，以在积分泛函背景下应用 Borwein-Preiss 变分原理。
• 通过序列极限 $ x_n^*(t) \in \hat{\partial}f(t, x_n(t)) $ 刻画 $ E_f $ 的 Fréchet 次微分，其中要求 $ x_n \to x $ 在 $ L^\infty $ 中收敛，且 $ f(t, x_n(t)) $ 的积分收敛于 $ f(t,x) $。
• 在原空间 $ X $ 与 $ p $-可积函数的泛函空间中同时应用变分原理，以推导精确的微分规则。
• 引入被积函数 $ f $ 上的利普希茨型条件，推广经典利普希茨连续性，以控制 $ E_f $ 的极限次微分。
• 利用对偶锥的对偶定理与 Castaing 表示，将对偶空间中的可积紧致性与原空间性质通过极锥联系起来。
• 通过弱*序列上极限 $ \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} $ 刻画极限次微分，并证明其几乎处处属于 $ \partial f(t,x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无资格条件的前提下，为非凸积分泛函 $ E_f $ 的 Fréchet 次微分导出精确且序列化的公式？
• RQ2 当被积函数 $ f $ 非利普希茨时，如何估计 $ E_f $ 的极限次微分？
• RQ3 经典凸积分泛函的微分规则在多大程度上可推广至非凸情形？
• RQ4 稳健极小值在使非凸积分泛函的变分原理得以应用中起到何种作用？
• RQ5 在何种条件下，$ E_f $ 的极限次微分与 $ f $ 的次梯度的积分的序列极限一致？

主要发现

• 若满足 $ \|x - x_n(\cdot)\|_\infty \to 0 $，$ \int_T f(t, x_n(t))\,d\mu \to \int_T f(t,x)\,d\mu $，且 $ \rho(\lambda_n \int_T x_n^*(t)\,d\mu - y^*) \to 0 $，则 $ E_f $ 在 $ x $ 处的 Fréchet 次微分可表征为可测选择 $ x_n^*(t) \in \hat{\partial}f(t, x_n(t)) $ 的积分极限。
• 对于极限次微分，通过广义利普希茨型条件提供了上界估计，将经典结果推广至非利普希茨被积函数。
• 极限次微分包含于集合 $ \int_T \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} \,d\mu + C(x_n^*)^- + W^\perp $ 中，其中 $ W $ 为闭子空间，$ C(x_n^*)^- $ 为负极锥。
• 证明了几乎处处有 $ \operatorname{Ls}^{w^*} \{ x_n^*(t) \} \subseteq \partial f(t,x) $，确保次微分极限与 $ f $ 的逐点次微分一致。
• 建立了如下刻画：在 $ L^\infty(T,X) $ 中以 $ e $ 为中心、半径为 $ \delta $ 的球包含于集合 $ \{ x(\cdot) \in L^\infty(T,X) : x(t) \in C(t) \text{ a.e.} \} $ 中，当且仅当对所有可测选择 $ c^* $ 有 $ \delta^{-1} \langle c^*(t), -e \rangle \geq \|c^*(t)\| $。
• 结果适用于具有可分对偶的可分 Asplund 空间，该框架适用于利普希茨与非利普希茨被积函数，推广了 Ioffe [28] 与 Lopez-Thibault [34] 的先前工作。