[论文解读] Sequential games and nondeterministic selection functions

Joe Bolt, Jules Hedges+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Game Theory and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了在有限非空幂集函子 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 上的非确定性选择函数，以建模序列博弈，表明其刻画的是严格劣策略的迭代剔除，而非子博弈完美均衡。尽管有直观预期，但没有任何非确定性选择函数能计算出所有子博弈完美纳什均衡路径，但它们确实捕捉到了基于优超性的较弱理性概念。

ABSTRACT

This paper analyses Escardó and Oliva's generalisation of selection functions over a strong monad from a game-theoretic perspective. We focus on the case of the nondeterminism (finite nonempty powerset) monad $\mathcal{P}$. We use these nondeterministic selection functions of type $\mathcal{J}^{\mathcal{P}}_R X = (X ightarrow R) ightarrow \mathcal{P} (X)$ to study sequential games, extending previous work linking (deterministic) selection functions to game theory. Similar to deterministic selection functions, which compute a subgame perfect Nash equilibrium play of a game, we characterise those non-deterministic selection functions which have a clear game-theoretic interpretation. We show, surprisingly, no non-deterministic selection function exists which computes the set of all subgame perfect Nash equilibrium plays. Instead we show that there are selection functions corresponding to sequential versions of the iterated removal of strictly dominated strategies.

研究动机与目标

• 使用有限非空幂集函子 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 来分析非确定性选择函数在序列博弈中的博弈论解释。
• 确定非确定性选择函数是否能够计算出所有子博弈完美纳什均衡路径。
• 识别由非确定性选择函数的乘积精确刻画的博弈论解概念。
• 刻画在序列博弈中产生一致且有意义的战略路径的那些选择函数的类别。
• 将选择函数的表达能力与经典解概念（如逆向归纳法和迭代优超）进行比较。

提出的方法

• 使用有限非空幂集函子 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 上的选择函子来建模序列博弈中的非确定性选择。
• 定义选择函数 $\varepsilon_i: (X_i \to R) \to \mathcal{P}_{\mathrm{f}}(X_i)$，其返回在给定收益上下文下不被严格劣超的行动集合。
• 引入严格优超选择函数 $\varepsilon_i^s$，其返回的行动满足其收益集合不被任何其他行动的收益集合严格优超。
• 应用乘积算子 $\bigotimes$ 将各玩家的选择函数组合起来，将逆向归纳推广至非确定性设置。
• 使用上闭包和见证性质的概念，分析选择函数输出的一致性和理性。
• 使用博弈论构造，将 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i$ 的输出与通过迭代剔除严格劣策略可获得的路径集合联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 非确定性选择函数能否在序列博弈中计算出所有子博弈完美纳什均衡路径？
• RQ2 在 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 函子上，非确定性选择函数的乘积所刻画的博弈论解概念是什么？
• RQ3 是否存在对应于序列博弈中严格劣策略迭代剔除的选择函数？
• RQ4 在何种条件下，见证性和上闭包选择函数的乘积本身也是见证的？
• RQ5 收益空间和半格序的结构如何影响选择函数乘积的结果？

主要发现

• 不存在任何非确定性选择函数能计算出所有子博弈完美纳什均衡路径，这与初始预期相反。
• 在 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 函子上，选择函数的乘积刻画了通过迭代剔除严格劣策略可获得的路径集合。
• 严格优超选择函数 $\varepsilon_i^s$ 同时具有见证性和上闭包性质，提供了一个有效的博弈论解概念。
• 乘积 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i^s$ 精确计算出在通过迭代剔除严格劣策略获得策略的博弈中，$\Sigma(\mathcal{G})$-路径的集合。
• 两个见证选择函数的乘积不一定是见证的，这通过一个反例（$X = \{0,1\}$，$R = \mathcal{P}_{\mathrm{f}}(\mathbb{R}^2)$）得到证明。
• 当每个 $X_i$ 有限时，乘积 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i^s$ 计算出的路径集合与在序列博弈中通过迭代剔除严格劣策略所获得的路径集合相同。