[论文解读] Sequential Lower Semi-Continuity of Non-Local Functionals

Peter Elbau|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文建立了在勒贝格空间上非局部泛函序列下极限连续性的必要且充分条件，表明泛函 $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$ 关于弱拓扑是弱序列下极限连续的，当且仅当对一个几乎处处的 $x$ 和所有 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$，映射 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$ 是凸的。在标量情形（$n=1$）下，该条件等价于 $f(x,y,w,z)$ 几乎处处的分离凸性。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for non-local functionals on vector-valued Lebesgue spaces to be weakly sequentially lower semi-continuous. Here a non-local functional shall have the form of a double integral of a density which depends on the function values at two different points. The characterisation we get is essentially that the density has to be convex in one variable if we integrate over the other one with an arbitrary test function in it. Moreover, we show that this condition is in the case of non-local functionals on real-valued Lebesgue spaces (up to some equivalence in the density) equivalent to the separate convexity of the density.

研究动机与目标

• 建立 $L^p$ 空间上非局部泛函弱序列下极限连续性的表征。
• 解决涉及非局部泛函的变分问题中极小化元的存在性问题，特别是在图像分析中的应用。
• 在弱于局部泛函理论中所用假设的条件下，澄清非局部泛函的可积性条件。
• 证明在标量情形（$n=1$）下，$\Phi_{x,\psi}$ 上的凸性条件等价于被积函数 $f(x,y,w,z)$ 几乎处处的分离凸性。
• 通过识别产生相同泛函的 $f$ 的等价形式，解决被积函数表示中的歧义。

提出的方法

• 将非局部泛函定义为 $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$，定义在勒贝格空间 $L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 上，其中 $p \in [1,\infty]$。
• 对几乎所有 $x \in X$ 和所有 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$，引入辅助映射 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$。
• 证明：在 $L^p$ 空间上（或在 $L^\infty$ 上关于弱*拓扑）的序列下极限连续性成立，当且仅当对一个几乎处处的 $x$ 和所有 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$，$\Phi_{x,\psi}$ 是凸的。
• 利用可测选择定理和积分不等式，从序列下极限连续性推导出必要条件。
• 证明当 $n=1$ 时，$\Phi_{x,\psi}$ 的凸性等价于 $f(x,y,w,z)$ 在 $X \times X$ 上几乎处处的分离凸性，不考虑被积函数的等价形式。
• 通过弱化局部泛函理论中常用的典型增长界，建立双积分可积性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^p$ 空间上，关于弱拓扑，何种条件可保证非局部泛函的序列下极限连续性？
• RQ2 映射 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$ 的凸性如何反映被积函数 $f$ 的结构？
• RQ3 当 $n=1$ 时，$\Phi_{x,\psi}$ 上的凸性条件是否等价于 $f(x,y,w,z)$ 的分离凸性？
• RQ4 被积函数 $f$ 是否可经等价变换修改而不改变泛函 $\mathcal{J}$？这种变换如何影响表征结果？
• RQ5 对 $f$ 的何种可积性条件可确保对所有 $u \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$，$\mathcal{J}(u)$ 是良定义的？

主要发现

• 当 $p \in (1,\infty)$ 时，泛函 $\mathcal{J}$ 关于 $L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 上的弱拓扑是序列下极限连续的，当且仅当对几乎所有 $x \in X$ 和所有 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$，$\Phi_{x,\psi}(w)$ 是凸的。
• 当 $p = \infty$ 时，若 $\Phi_{x,\psi}$ 满足相同的凸性条件，则 $\mathcal{J}$ 关于弱*拓扑是序列下极限连续的。
• 在标量情形（$n=1$）下，$\Phi_{x,\psi}$ 的凸性等价于 $f(x,y,w,z)$ 几乎处处在 $X \times X$ 上的分离凸性，不考虑被积函数的等价形式。
• 通过弱于局部泛函理论中标准边界的增长条件，可确保 $\mathcal{J}(u)$ 对所有 $u \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 的可积性。
• 若 $f(x,y,w,z)$ 在几乎处处的 $(x,y)$ 上关于 $(w,z)$ 是下极限连续的，且 $f$ 有下界，则泛函 $\mathcal{J}$ 关于强拓扑是序列下极限连续的。
• 本文通过证明：当 $n=1$ 时，任何产生相同 $\mathcal{J}$ 的 $f$ 均可替换为一个等价的 $\tilde{f}$，使得 $\tilde{f}(x,y,w,z)$ 几乎处处分离凸，当且仅当对所有 $\psi$，$\Phi_{x,\psi}$ 是凸的，从而消除了被积函数中的歧义。