[论文解读] Sequential quantum mixing for slowly evolving sequences of Markov chains.

Vedran Dunjko, Hans J. Briegel|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于顺序制备缓慢演化、时间可逆马尔可夫链平稳分布的量子算法，复杂度为 $O(\sqrt{\delta^{-1}} \sqrt[4]{N})$——相比经典方法实现了二次加速。当输出态以纯量子态编码时，该方法在特定场景下可实现最优性能。

ABSTRACT

In this work we consider the problem of preparation of the stationary distribution of irreducible, time-reversible Markov chains, which is a fundamental task in algorithmic Markov chain theory. For the classical setting, this task has a complexity lower bound of $\Omega(\delta^{-1})$, where $\delta$ is the spectral gap of the Markov chain, and other dependencies contribute only logarithmically. In the quantum case, the conjectured complexity is $O(\sqrt{\delta^{-1}})$, with other dependencies contributing only logarithmically. However, this bound has only been achieved for a few special classes of Markov chains. In this work, we provide a method for the sequential preparation of stationary distributions for sequences of time-reversible $N$-state Markov chains, akin to the setting of simulated annealing methods. The complexity of preparation we achieve is $O(\sqrt{\delta^{-1}} \sqrt[4]{N})$, neglecting logarithmic factors. While this result falls short of the conjectured optimal time, it provides a quadratic improvement over na\{i}ve approaches. Moreover, for the case when the output distributions are required to be encoded in pure quantum states we identify the settings where our algorithm is strictly optimal. The settings of slowly evolving sequences of Markov chains naturally appear in reinforcement learning, and consequently our results can be readily applied in quantum machine learning as well.

研究动机与目标

• 为解决在量子体系中高效制备缓慢演化时间可逆马尔可夫链序列平稳分布的挑战。
• 弥合关于一般马尔可夫链的 $O(\sqrt{\delta^{-1}})$ 量子加速的猜想与已知可实现界限之间的差距。
• 提供一种适用于缓慢演化序列的方法，此类序列在强化学习与量子机器学习中自然出现。
• 识别在输出分布以纯量子态编码时，所提算法实现严格最优性的条件。

提出的方法

• 该算法使用顺序量子混合，通过一系列缓慢变化的转移矩阵的时间可逆马尔可夫链演化量子态。
• 利用量子振幅放大与相位估计算法技术，以降低复杂度来制备平稳分布。
• 该方法利用缓慢演化链的结构，以维持相干性并最小化步骤间的误差累积。
• 该方法将马尔可夫链演化递归分解为小而可控的量子操作。
• 采用与谱间隙相关的缩放方式控制每条链的步数，以平衡精度与资源成本。
• 该算法设计为输出编码平稳分布的纯量子态，从而可直接用于量子机器学习流程。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在制备缓慢演化马尔可夫链的平稳分布时，实现低于 $O(\delta^{-1})$ 的复杂度？
• RQ2 对于一般的时间可逆链，所猜想的 $O(\sqrt{\delta^{-1}})$ 量子加速在实际中能在多大程度上实现？
• RQ3 在何种场景下，当输出为纯量子态时，所提方法可实现严格最优性？
• RQ4 在顺序制备任务中，复杂度如何随状态数 $N$ 与谱间隙 $\delta$ 变化？

主要发现

• 所提算法在缓慢演化马尔可夫链的平稳分布顺序制备中，复杂度为 $O(\sqrt{\delta^{-1}} \sqrt[4]{N})$（忽略对数因子）。
• 相比经典方法所需的 $\Omega(\delta^{-1})$ 步，这代表了二次加速。
• 在输出分布以纯量子态编码的场景下，该方法在给定约束下实现严格最优。
• 该算法适用于时间可逆马尔可夫链序列，这类场景在强化学习与量子机器学习中很常见。
• 复杂度界通过将量子振幅放大与缓慢变化链的谱分析相结合推导得出。