[论文解读] Sequential Regression for Optimal Stopping Problems

Bobby Gramacy, Michael Ludkovski|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Auction Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文提出一种用于最优停止问题的序列回归方法，通过在停止边界附近自适应地细化随机网格，实现在动态、局部区域对继续区域和停止区域的估计。通过递归设计与回归方法，该方法在保持多维百慕大期权定价精度的同时，相较于标准的Longstaff-Schwartz方法，将设计规模减少了高达10倍。

ABSTRACT

We propose a new approach to solve optimal stopping problems via simulation. Working within the backward dynamic programming/Snell envelope framework, we augment the methodology of Longstaff-Schwartz that focuses on approximating the stopping strategy. Namely, we introduce adaptive generation of the stochastic grids anchoring the simulated sample paths of the underlying state process. This allows for active learning of the classifiers partitioning the state space into the continuation and stopping regions. To this end, we examine sequential design schemes that adaptively place new design points close to the stopping boundaries. We then discuss dynamic regression algorithms that can implement such recursive estimation and local refinement of the classifiers. The new algorithm is illustrated with a variety of numerical experiments, showing that an order of magnitude savings in terms of design size can be achieved. We also compare with existing benchmarks in the context of pricing multi-dimensional Bermudan options.

研究动机与目标

• 通过减少用于准确逼近的所需设计点数量，提升基于模拟的最优停止方法的效率。
• 通过实现靠近停止边界的动态、自适应样本路径放置，解决Longstaff-Schwartz方法中固定网格设计的局限性。
• 开发一种递归回归框架，用于学习并细化将状态空间划分为继续区域与停止区域的分类器。
• 在多维最优停止问题中实现显著的计算节省，同时不牺牲精度。
• 在高维百慕大期权定价中，将所提方法与现有方法进行基准对比。

提出的方法

• 该方法使用序列设计方案，迭代地在估计的停止边界附近放置新的网格点，将计算资源集中于最需要的位置。
• 采用向后动态规划与Snell上确界方法，定义最优停止时间与值函数。
• 自适应细化由停止区域与继续区域边界附近的误差估计和点的局部密度指导。
• 使用递归回归算法更新分类器，基于新添加的设计点对状态空间进行划分。
• 算法在每个设计点处维护一个局部回归模型，实现对条件期望的高效、局部估计。
• 该方法将主动学习原则整合到随机最优控制中，提升收敛速度并减少所需样本量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在停止边界附近进行自适应网格细化，是否能显著减少基于模拟的最优停止方法中所需的设计点数量？
• RQ2 在多维期权定价中，序列回归方法在精度与计算成本方面与标准Longstaff-Schwartz方法相比表现如何？
• RQ3 递归回归算法通过局部细化，能在多大程度上提升对继续区域与停止区域的估计精度？
• RQ4 序列设计对最优停止值估计的收敛速度与稳定性有何影响？
• RQ5 在高维设置下，该方法是否能在保持精度的同时实现显著的设计规模缩减？

主要发现

• 所提方法相较于标准的Longstaff-Schwartz方法，将所需设计点数量最多减少10倍，显著提升了计算效率。
• 在停止边界附近自适应地放置网格点，可加快收敛速度，并更准确地估计值函数。
• 数值实验表明，该方法在多种多维百慕大期权定价问题中均表现出一致的性能提升。
• 递归回归框架实现了有效的局部细化，提升了高维状态空间中分类器的精度。
• 在设计规模效率方面，该方法优于现有基准，同时保持了具有竞争力的精度水平。
• 序列设计策略有效捕捉了停止边界的几何结构，减少了低信息区域的冗余采样。