[论文解读] Serendipity Face and Edge VEM Spaces

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于二维和三维 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$-符合问题的和谐面与边虚拟元方法（VEM）空间，将节点型和谐VEM推广至混合有限元框架。通过利用边界和旋度相容的自由度减少内部自由度，该方法在保持最优收敛率的同时显著降低了计算成本，尤其在具有复杂几何形状的多面体网格上表现突出。

ABSTRACT

We extend the basic idea of Serendipity Virtual Elements from the previous case (by the same authors) of nodal ($H^1$-conforming) elements, to a more general framework. Then we apply the general strategy to the case of $H(div)$ and $H(curl)$ conforming Virtual Element Methods, in two and three dimensions.

研究动机与目标

• 将节点型 $H^1$-符合VEM扩展至二维与三维的 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$-符合空间。
• 通过采用类似和谐的策略消除内部与面内自由度，减少 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$-符合VEM中的自由度数量。
• 在混合弱式中确保 $B$-相容性（Fortin型插值算子），以保障 inf-sup 稳定性。
• 通过引入支持 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$ 符合性的多项式投影与边界自由度，推广先前的VEM空间。

提出的方法

• 提出一种通用框架，通过选择保持 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$ 符合性的边界自由度，构建类似和谐的VEM空间。
• 通过边界自由度定义局部VEM空间：边/面上的切向与法向通量、面上的旋度相关矩，以及用于 $\mathscr{S}_k$-识别的体积分量。
• 通过仅保留关键自由度实现和谐降阶：(1) 边/面上的切向与法向通量，(2) 面上的旋度相关矩，(3) 用于 $\mathscr{S}_k$-识别的 $k+1-\eta_E$ 阶体积分量。
• 使用 $B$-相容插值算子（Fortin型）确保混合弱式中的稳定性，特别是满足 inf-sup 条件。
• 通过在边与面上定义与多项式投影不变且与旋度和散度算子相容的自由度，将该方法应用于多面体单元。
• 提出一种系统性程序，在 $\eta_E \leq k+1$ 时选择额外自由度，利用 $k+1-\eta_E$ 阶体积分量识别多项式空间 $\mathscr{S}_k$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将类似和谐的降阶方法从节点型 $H^1$-符合VEM推广至二维与三维的 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$-符合VEM？
• RQ2 在消除内部与面内自由度的同时，为保持 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$ 符合性，所需的最小自由度集合是什么？
• RQ3 能否为和谐 $H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$ VEM 构造一个 $B$-相容插值算子，以确保混合弱式中的稳定性？
• RQ4 当 $\eta_E \leq k+1$ 时，自由度数量如何随单元几何形状变化？
• RQ5 在非凸单元中，$k+1-\eta_E$ 阶体积分量在识别多项式空间 $\mathscr{S}_k$ 中起什么作用？

主要发现

• 与标准VEM相比，$H(\textrm{div})$ 与 $H(\textrm{curl})$ 符合问题的和谐VEM空间在显著减少自由度的同时，实现了最优收敛率。
• 通过选择适当的自由度，该方法保持了 $B$-相容性（Fortin型插值算子），确保了混合弱式中的稳定性。
• 对于凸单元，当 $\eta_E > k+1$ 时，自由度 (8.31)–(8.33) 与 (8.25) 唯一确定了 $\mathscr{S}_k$ 中的所有多项式，无需额外的内部自由度。
• 当 $\eta_E \leq k+1$ 时，核空间 $\mathcal{Z}_k$ 的维数为 $\pi_{k+1-\eta,3}$，需增加 $k+1-\eta_E$ 阶体积分量以识别 $\mathscr{S}_k$。
• 当在面上使用和谐边VEM而非仅减少体积分量时，自由度减少的增益最为显著。
• 通过基于边界 $\partial E$ 被平面覆盖数量的系统性自由度选择，该方法对多面体网格（包括扭曲与非凸单元）具有鲁棒性。