[论文解读] Series expansion in fractional calculus and fractional differential equations

Ming-Fan Li, Ji-Rong Ren+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文基于分数阶微积分基本定理，提出了一种分数阶级数展开方法，为无限分数阶可微函数定义了分数阶泰勒级数，并推广了超几何函数。该方法进一步扩展至有限分数阶可微函数，引入多重分数阶指数，通过系统化的级数展开与系数确定，展示了其在求解分数阶微分方程中的有效性。

ABSTRACT

Fractional calculus is the calculus of differentiation and integration of non-integer orders. In a recently paper (Annals of Physics 323 (2008) 2756-2778), the Fundamental Theorem of Fractional Calculus is highlighted. Based on this theorem, in this paper we introduce fractional series expansion method to fractional calculus. We define a kind of fractional Taylor series of an infinitely fractionally-differentiable function. Further, based on our definition we generalize hypergeometric functions and derive corresponding differential equations. For finitely fractionally-differentiable functions, we observe that the non-infinitely fractionally-differentiability is due to more than one fractional indices. We expand functions with two fractional indices and display how this kind of series expansion can help to solve fractional differential equations.

研究动机与目标

• 基于分数阶微积分基本定理，发展一种系统化的分数阶级数展开方法。
• 为无限分数阶可微函数定义分数阶泰勒级数，实现对分数阶微分方程的解析处理。
• 将超几何函数推广至分数阶，并推导其对应的微分方程。
• 通过识别多重分数阶指数的作用，解决有限分数阶可微函数的挑战。
• 通过显式级数展开与系数计算，展示该方法在求解分数阶微分方程中的有效性。

提出的方法

• 利用Caputo分数阶导数与Riemann-Liouville积分，为无限分数阶可微函数提出分数阶泰勒级数展开。
• 通过将分数阶泰勒级数应用于特殊函数形式，推导出超几何函数的分数阶推广。
• 针对分数阶可微性有限的函数，引入双指标级数展开，其中指标来源于多个分数阶阶数α与β。
• 通过将级数代入方程并匹配同类项系数，将级数展开应用于求解分数阶微分方程。
• 利用伽马函数恒等式递归计算系数，尤其针对包含(x−a)^{mα + nβ}（m≥3或n≥1）的项。
• 建立通用算法：识别指标，以分数幂展开解，代入方程，并通过递推关系求解系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于分数阶微积分基本定理，严格定义无限分数阶可微函数的分数阶泰勒级数？
• RQ2 超几何函数的分数阶推广是什么？它满足何种微分方程？
• RQ3 为何某些函数无法实现无限分数阶可微？其局限性如何通过多重分数阶指数表征？
• RQ4 能否发展一种系统化的级数展开方法，用于求解具有非整数阶导数的分数阶微分方程？
• RQ5 对于涉及混合分数阶幂的方程，如何递归计算多指标分数阶级数展开中的系数？

主要发现

• 为无限分数阶可微函数定义了分数阶泰勒级数，使其可通过(x−a)的分数幂实现解析表示。
• 通过应用分数阶泰勒级数，将分数阶超几何函数推广，并推导出其对应的分数阶微分方程。
• 对于有限分数阶可微函数，其障碍源于存在多于一个分数阶指数，如α与β。
• 通过在(x−a)^{β}与(x−a)^{β+β}幂次上的双指标级数展开，求得分数阶微分方程$ D^{eta}_{a|x}y(x) + f(x)y(x) = g(x) $的解，系数由伽马函数比值确定。
• 级数展开中的系数可递归计算：$ c_{mn} = -rac{\text{Gamma}((m-1)eta + neta + 1)}{\text{Gamma}(meta + neta + 1)} c_{(m-1)n} $，初始项具有闭式表达。
• 该方法通过将分数阶微分方程转化为具有分数指数的广义幂级数中的系数匹配问题，成功求解了分数阶微分方程。