[论文解读] Series of convex functions: subdifferential, conjugate and applications to entropy minimization

S. Schuh, Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文将凸分析推广至局部凸空间中的无穷个凸函数级数，推导出此类和的次微分与共轭的公式。将这些结果应用于严格求解统计物理中的熵最小化问题，包括一个关于三维谐振子的具体例子，通过次微分与共轭微分学证明了最大熵分布的唯一性。

ABSTRACT

A formula for the sub\-differential of the sum of a series of convex functions defined on a Banach space was provided by X. Y. Zheng in 1998. In this paper, besides a slight extension to locally convex spaces of Zheng's results, we provide a formula for the conjugate of a countable sum of convex functions. Then we use these results for calculating the sub\-differentials and the conjugates in two situations related to entropy minimization, and we study a concrete example met in Statistical Physics.

研究动机与目标

• 严格处理通常通过形式拉格朗日乘子法求解的统计物理中的熵最小化问题。
• 将X. Y. 郑1998年关于凸函数级数次微分的结果推广至局部凸空间。
• 推导可数个凸函数和的共轭公式，将莫雷奥定理推广至无穷级数。
• 将这些理论结果应用于具体物理模型：具有离散能级的三维谐振子。
• 证明即使在标准 $ L^p $-空间方法因测度空间非有限而失效时，最大熵分布仍可唯一达到。

提出的方法

• 使用局部凸空间中集合的正规收敛性，以确保凸函数级数的收敛性。
• 应用Fenchel-Moreau定理与共轭微分学，推导可数个凸函数和的共轭。
• 采用局部凸空间中凸函数级数的次微分公式，扩展郑的结果。
• 分析熵泛函 $ h(x,y) = e^x [f(y)]^3 $，其中 $ f(y) = 1 + \sum_{n\geq 2} e^{(n^2-1)y} $，并通过关于对偶变量的上确界计算其共轭。
• 使用Legendre-Fenchel变换，将最小熵表示为满足矩约束的概率分布的下确界卷积。
• 通过次微分条件 $ \partial h(\text{int}(\text{dom} h)) = \text{int}(\text{dom} h^*) $ 验证解的正确性，确保唯一性与最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部凸空间中，如何表征无穷个凸函数和的次微分？
• RQ2 可数个凸函数和的共轭是什么？它如何推广莫雷奥定理？
• RQ3 能否在不依赖形式拉格朗日乘子法的前提下，严格推导出具有离散能级的三维谐振子的最大熵分布？
• RQ4 为何标准 $ L^p $-方法在此熵最小化问题中失效？凸分析如何克服这一局限？
• RQ5 在无穷维矩约束下，熵最小化问题的极小化子的存在性与唯一性由何种条件保证？

主要发现

• 熵泛函 $ h(x,y) = e^x [f(y)]^3 $ 的共轭为 $ h^*(u,v) = u(\ln u - 1) + 3u(\ln f)^*(v/(3u)) $，当 $ v \geq 3u > 0 $ 时成立；若 $ u = 0 \leq v $，则 $ h^*(u,v) = 0 $；否则为 $ \infty $。
• 最小熵在 $ (\overline{u}_{k,l,m}) = \frac{u}{[f(y)]^3} e^{(k^2+l^2+m^2)y} $ 处唯一达到，其中 $ y < 0 $ 满足 $ v/u = 3f'(y)/f(y) $，且 $ (u,v) \in \text{int}(\text{dom} h^*) $。
• 当 $ v = 3u \geq 0 $ 时，极小化子唯一，对应于 $ u_{1,1,1} = u $，其余 $ u_{k,l,m} = 0 $，表明解结构发生突变。
• 当 $ v = 3u $ 时，解无法通过形式拉格朗日乘子法获得，凸显了严格凸分析的必要性。
• 泛函 $ h $ 的次微分满足 $ \partial h(\text{int}(\text{dom} h)) = \text{int}(\text{dom} h^*) $，确认了极小化子的最优性与唯一性。
• 该方法克服了Borwein型方法的局限性，在非$ L^p $-空间设定下工作，其中底层测度空间具有无限总测度。